5 El Bank of Bath emite monedas con una $H$ en un lado y una $T$ en el otro. Harry tiene $n$ de estas monedas dispuestas en una fila de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente $k>0$ monedas mostrando $H$, entonces voltea la $k$-ésima moneda desde la izquierda; de lo contrario, todas las monedas muestran $T$ y él se detiene. Por ejemplo, si $n=3$, el proceso comenzando con la configuración $THT$ sería $THT \to HHT \to HTT \to TTT$, el cual se detiene después de tres operaciones. (a) Demuestre que, para cada configuración inicial, Harry se detiene después de un número finito de operaciones. (b) Para cada configuración inicial $C$, sea $L(C)$ el número de operaciones antes de que Harry se detenga. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$. Determine el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2^n$ configuraciones iniciales $C$ posibles. Propuesto por David Altizio, EE. UU.

Sea $m \in \mathbb{N}$ tal que $\gcd(m,6)=1$. Sea $S_{m}$ el conjunto de números menores que $m$ y coprimos con $m$. Sea $\sum_{n \in S_{m}} \frac{1}{n} = \frac{A}{B}$, con $A, B \in \mathbb{N}$. Demuestre que $m^{2}$ divide a $A$.

3 Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tales que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \] denote por $ O_i$ el circuncentro del $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Suponiendo que $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestre que las cuatro rectas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas. Nikolai Ivanov Beluhov, Bulgaria

3 Sea $t \ge 3$ un número real dado y suponga que el polinomio $f(x)$ satisface $|f(k)-t^k|<1$, para $k=0,1,2,\ldots ,n$. Demuestre que el grado de $f(x)$ es al menos $n$.

1 En un juego, un jugador puede subir hasta 16 niveles. En cada nivel, el jugador puede mejorar una habilidad gastando ese nivel en ella. Existen tres tipos de habilidades; sin embargo, una habilidad no puede ser mejorada antes del nivel 6 por primera vez. Y esa habilidad especial no puede ser mejorada antes del nivel 11. Las otras habilidades pueden ser mejoradas en cualquier nivel, cualquier cantidad de veces (posiblemente 0), pero la habilidad especial necesita ser mejorada exactamente dos veces. ¿De cuántas maneras pueden ser mejoradas estas habilidades?

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x, y$ reales, se cumple la siguiente relación: $$(x+y) \cdot f(x+y)= f(f(x)+y) \cdot f(x+f(y)).$$ Propuesto por Vadym Koval (Ucrania)

6 Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ se denomina aquaesuliana si se cumple la siguiente propiedad: para todo $x,y \in \mathbb{Q}$, \[ f(x+f(y)) = f(x) + y \quad \text{o} \quad f(f(x)+y) = x + f(y). \] Demuestre que existe un entero $c$ tal que para cualquier función aquaesuliana $f$ hay a lo sumo $c$ números racionales distintos de la forma $f(r) + f(-r)$ para algún número racional $r$, y encuentre el menor valor posible de $c$.

2 Determine todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que $$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$$ se cumple para todo entero $n\geqslant N.$ (Note que $\gcd(x, y)$ denota el máximo común divisor de los enteros $x$ e $y.$) Propuesto por Valentio Iverson, Indonesia

4 Sea ${A}_{n}$ el número de permutaciones $a_{1}, a_{2},..,a_{n}$ de $1,2,3..n$ tales que $\mid{a}_{k}-{k}\mid=0$ o $1$ o $2$. Cuando $n\ge6$, demuestre que ${A}_{n}={2A}_{n-1}+2{A}_{n-3}-{A}_{n-5}$.

1 Sara escribió en la pizarra un entero con menos de treinta dígitos y que termina en $2$. Celia borra el $2$ del final y lo escribe al principio. El número que queda escrito es igual al doble del número que Sara había escrito. ¿Qué número escribió Sara?