4 Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestre que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(T) = \frac{\pi}{2}.$ Kevin Buzzard, Reino Unido

5 Determine todas las sucesiones $a_0 , a_1 , a_2 , \ldots$ de enteros positivos con $a_0 \ge 2015$ tales que para todo entero $n\ge 1$ : (i) $a_{n+2}$ es divisible por $a_n$ ; (ii) $|s_{n+1} - (n + 1)a_n | = 1$ , donde $s_{n+1} = a_{n+1} - a_n + a_{n-1} - \cdots + (-1)^{n+1} a_0$ . Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

4 Encuentre todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \] Propuesto por Gabriel Chicas Reyes, El Salvador

5 En un tablero de $8$ casillas —como el que se muestra en la figura— hay inicialmente una ficha en cada casilla. $ \begin{tabular}{ | l | c | c |c | c| c | c | c | r| } \hline & & & & & & & \\ \hline \end{tabular} $ Un movimiento consiste en elegir dos fichas y mover una de ellas una casilla a la derecha y la otra una casilla a la izquierda. Si después de $4$ movimientos las $8$ fichas están distribuidas en solo $2$ casillas, determine cuáles pueden ser esas casillas y cuántas fichas hay en cada una.

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto medio de $AO$. Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan a la altura $AD$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABE$ y $ACF$, respectivamente. Demuestre que $M$ se encuentra sobre $O_1O_2$.

1 Sean $x \geq y \geq z$ números reales tales que $xy + yz + zx = 1$. Demuestre que $xz < \frac 12$. ¿Es posible mejorar el valor de la constante $\frac 12 \ ?$ Amir

5 Sean los puntos $A, B$ y $C$ situados en la parábola $\Delta$ tales que el punto $H$, ortocentro del triángulo $ABC$, coincide con el foco de la parábola $\Delta$. Demuestre que al cambiar la posición de los puntos $A, B$ y $C$ en $\Delta$ de modo que el ortocentro permanezca en $H$, el inradio del triángulo $ABC$ permanece constante. Propuesto por Mahdi Etesamifard

6 $1, 2, \dots, 40$ están ubicados en un círculo de tal manera que para cualesquiera números secuenciales $a, b, c$, ${41} \mid {b}^{2} - {a}{c}$. ¿Cuántas ubicaciones distintas son posibles? (Las ubicaciones rotadas y simétricas se consideran iguales).

3 En el triángulo $ABC$, se dan el ángulo $\alpha = \angle BAC$ y el lado $a = BC$. Suponga que $a = \sqrt{rR}$, donde $r$ es el inradio y $R$ el circunradio. Calcule todas las longitudes posibles de los lados $AB$ y $AC$.

2 ¿Es cierto que en cualquier $n$-gono convexo con $n > 3$, existe un vértice y una diagonal que pasa por este vértice tales que los ángulos de esta diagonal con ambos lados adyacentes a este vértice son agudos? Propuesto por Boris Frenkin - Rusia