3 Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Estos dos círculos se cortan en los puntos $X$ e $Y$. $AB$ es una recta tangente común a estos dos círculos tal que $A$ está en $\omega_1$ y $B$ está en $\omega_2$. Sean las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $X$ que cortan a $O_1O_2$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Suponga que la recta $BL$ corta a $\omega_2$ por segunda vez en $M$ y la recta $AK$ corta a $\omega_1$ por segunda vez en $N$. Demuestre que las rectas $AM$, $BN$ y $O_1O_2$ son concurrentes. Propuesto por Dominik Burek - Polonia

3 Dado un polígono regular de $2013$ lados, ¿cuántos triángulos isósceles existen cuyos vértices sean vértices del polígono dado y tengan un ángulo mayor a $120^o$? Nguyen Tien Lam, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói.

4 Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestre que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(T) = \frac{\pi}{2}.$ Kevin Buzzard, Reino Unido

5 El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $AC$ en $D$. Demuestre que el círculo que es tangente a los rayos $[BD)$, $[DC)$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ es igual al excírculo de $ABC$ correspondiente al ángulo $\angle{B}$.

3 Sean $P$ y $Q$ los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$; sean $N$ y $M$ los puntos de intersección de la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestre que los círculos que contienen a los triángulos $NAP$, $NBQ$, $MQD$ y $MPC$ se intersecan en un mismo punto.

1 Determine todos los números reales $\alpha$ tales que, para todo entero positivo $n,$ el entero $$\lfloor\alpha\rfloor +\lfloor 2\alpha\rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha\rfloor$$ sea un múltiplo de $n.$ (Note que $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual a $z.$ Por ejemplo, $\lfloor -\pi\rfloor =-4$ y $\lfloor 2\rfloor= \lfloor 2.9\rfloor =2.$ ) Propuesto por Santiago Rodríguez, Colombia

5 Determine todas las sucesiones $a_0 , a_1 , a_2 , \ldots$ de enteros positivos con $a_0 \ge 2015$ tales que para todo entero $n\ge 1$ : (i) $a_{n+2}$ es divisible por $a_n$ ; (ii) $|s_{n+1} - (n + 1)a_n | = 1$ , donde $s_{n+1} = a_{n+1} - a_n + a_{n-1} - \cdots + (-1)^{n+1} a_0$ . Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

4 Sean $a, b$ y $c$ enteros tales que $a + b + c = 0$. (a) Demuestre que $a^4 + b^4 + c^4$ es divisible por $a^2 + b^2 + c^2$. (b) Demuestre que $a^{100} + b^{100} + c^{100}$ es divisible por $a^2 + b^2 + c^2$.

4 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la recta $AD$ tal que $BK=AB$. Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$, y la mediatriz de $PC$ corta al circuncírculo del triángulo $APD$ en los puntos $X$, $Y$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$. Propuesto por Iman Maghsoudi

2014.1