1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^\circ$. Una recta que une el punto medio de su altura $CH$ y el vértice $A$ corta a $CB$ en el punto $K$. Sea $L$ el punto medio de $BC$, y $T$ un punto del segmento $AB$ tal que $\angle ATK=\angle LTB$. Se sabe que $BC=1$. Encuentre el perímetro del triángulo $KTL$.

4 Determine todos los pares $(h,s)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: Si se trazan $h$ líneas horizontales y otras $s$ líneas que satisfacen (i) no son horizontales, (ii) no hay dos de ellas que sean paralelas, (iii) no hay tres de las $h + s$ líneas que sean concurrentes, entonces el número de regiones formadas por estas $h + s$ líneas es 1992.

4 Ana y Bruno tienen un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Ana pinta cada uno de los $64$ cuadrados con algún color. Luego, Bruno elige dos filas y dos columnas del tablero y observa los $4$ cuadrados donde se intersecan. El objetivo de Bruno es que estos $4$ cuadrados sean del mismo color. ¿Cuántos colores, como mínimo, debe usar Ana para que Bruno no pueda cumplir su objetivo? Demuestre cómo se puede pintar el tablero con esta cantidad de colores y explique por qué, si se usan menos colores, Bruno siempre puede cumplir su objetivo.

6 Varias servilletas rectangulares azules y verdes (quizás de diferentes tamaños) con lados verticales y horizontales fueron colocadas en el plano. Resultó que cualesquiera dos servilletas de diferentes colores pueden ser atravesadas por una línea vertical u horizontal (quizás a lo largo del borde). Demuestre que es posible elegir un color, dos líneas horizontales y una línea vertical, de tal manera que cada servilleta del color elegido sea intersectada por al menos una de las líneas elegidas.

2 Sean $A$ y $B$ los dos focos de una elipse y sea $P$ un punto en dicha elipse. Demuestre que los radios focales de $P$ (es decir, los segmentos $\overline{AP}$ y $\overline{BP}$) forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en $P$.

5 Una tortuga camina $60$ metros por hora y un lagarto camina a $240$ metros por hora. Existe un rectángulo $ABCD$ donde $AB =60$ y $AD =120$. Ambos comienzan desde el vértice $A$ y en la misma dirección ($A \to B \to D \to A$), recorriendo el borde del rectángulo. El lagarto tiene el hábito de avanzar dos lados consecutivos del rectángulo, girar para retroceder uno, girar para avanzar dos, girar para retroceder uno y así sucesivamente. ¿Cuántas veces y en qué lugares se encuentran la tortuga y el lagarto cuando la tortuga completa su tercera vuelta?

2 La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $O$ y $O_1$ los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Demuestre que $C_1O_1\perp AO$.

4 Cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ yacen sobre un círculo $\tau$ en sentido horario en ese orden, tales que $AB \parallel CE$ y $\angle ABC > 90^{\circ}$. Sea $k$ un círculo tangente a $AD$, $CE$ y $\tau$ tal que $k$ y $\tau$ se tocan en el arco $\widehat{DE}$ que no contiene a $A$, $B$ y $C$. Sea $F \neq A$ la intersección de $\tau$ y la recta tangente a $k$ que pasa por $A$, distinta de $AD$. Demuestre que existe un círculo tangente a $BD$, $BF$, $CE$ y $\tau$.

4 Durante un recreo, $n$ niños en la escuela se sientan en círculo alrededor de su maestro para jugar un juego. El maestro camina en el sentido de las agujas del reloj cerca de los niños y reparte dulces a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla: selecciona a un niño y le da un dulce, luego se salta al siguiente niño y le da un dulce al siguiente, luego se salta 2 y le da un dulce al siguiente, luego se salta 3, y así sucesivamente. Determine los valores de $n$ para los cuales eventualmente, quizás después de muchas rondas, todos los niños tendrán al menos un dulce cada uno.

2 Julia tiene $289$ monedas guardadas en cajas: todas las cajas contienen el mismo número de monedas (el cual es mayor que $1$) y en cada caja hay monedas del mismo país. Las monedas de Bolivia son más del $6\%$ del total, las de Chile son más del $12\%$ del total, las de México son más del $24\%$ del total y las de Perú son más del $36\%$ del total. ¿Puede Julia tener alguna moneda de Uruguay?