4 De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de colores diferentes fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de esta última alternativa? Amir

5 Un torneo $(n, k)$ es una competencia con $n$ jugadores llevada a cabo en $k$ rondas tal que: $(i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se enfrentan a lo sumo una vez. $(ii)$ Si el jugador $A$ se enfrenta al jugador $B$ en la ronda $i$, el jugador $C$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $i$, y el jugador $A$ se enfrenta al jugador $C$ en la ronda $j$, entonces el jugador $B$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $j$. Determine todos los pares $(n, k)$ para los cuales existe un torneo $(n, k)$. Propuesto por Carlos di Fiore, Argentina

4 Sea $n>1$ un entero positivo. Ana y Bob juegan un juego con otras $n$ personas. El grupo de $n$ personas forma un círculo, y Bob colocará un sombrero negro o uno blanco en la cabeza de cada persona. Cada persona puede ver todos los sombreros excepto el suyo propio. Ellos adivinarán el color de su propio sombrero individualmente. Antes de que Bob distribuya sus sombreros, Ana les da a las $n$ personas una estrategia que es la misma para todos. Por ejemplo, podría ser "adivinar el color justo a tu izquierda" o "si ves un número impar de sombreros negros, entonces adivina negro; de lo contrario, adivina blanco". Ana quiere maximizar el número de personas que adivinan el color correcto, y Bob busca lo contrario. Ahora, suponga que Ana y Bob son lo suficientemente inteligentes, y todos siguen una estrategia estrictamente. ¿Cuántas adivinanzas correctas puede garantizar Ana? Propuesto por China.

6 Un triángulo con agujeros es un triángulo equilátero orientado hacia arriba de lado $n$ con $n$ agujeros triangulares unitarios orientados hacia arriba recortados. Un diamante es un rombo unitario de $60^\circ-120^\circ$. Demuestre que un triángulo con agujeros $T$ puede ser recubierto con diamantes si y solo si se cumple la siguiente condición: todo triángulo equilátero orientado hacia arriba de lado $k$ en $T$ contiene a lo sumo $k$ agujeros, para $1\leq k\leq n$. Propuesto por Federico Ardila, Colombia

Se eligen 9 puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ sobre los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ intersecan al circuncírculo del triángulo $ ABC$ nuevamente en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ). Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son semejantes.

4 Un par $(a,b)$ de enteros positivos es Rioplatense si se cumple que $b + k$ es un múltiplo de $a + k$ para todo $k \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \}$. Demuestre que existe un conjunto infinito $A$ de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $A$, con $a < b$, el par $(a,b)$ es Rioplatense.

1 Tarik desea elegir algunos números distintos del conjunto $S = \{2,...,111\}$ de tal manera que ninguno de los números elegidos pueda escribirse como el producto de otros dos números elegidos distintos. ¿Cuál es la cantidad máxima de números que Tarik puede elegir?

4 Calcule el valor exacto de la serie $\sum _{n=2} ^\infty \log (n^3 +1) - \log (n^3 - 1)$ y proporcione una justificación.

1 La dirección de una sociedad secreta está compuesta por $4$ personas. Para admitir nuevos socios utilizan los siguientes criterios: $\bullet$ Solo los $4$ miembros de la dirección votan, pudiendo hacerlo de $3$ formas: a favor, en contra o absteniéndose. $\bullet$ Cada aspirante a socio debe obtener al menos $2$ votos a favor y ninguno en contra. En la última reunión de dirección, se examinaron $8$ solicitudes de admisión. Del total de votos emitidos, hubo $23$ votos a favor, $2$ votos en contra y $7$ abstenciones. ¿Cuál es el valor máximo y cuál es el valor mínimo que puede tener el número de solicitudes de admisión aprobadas en esa ocasión?

5 Una tortuga camina $60$ metros por hora y un lagarto camina a $240$ metros por hora. Existe un rectángulo $ABCD$ donde $AB =60$ y $AD =120$. Ambos comienzan desde el vértice $A$ y en la misma dirección ($A \to B \to D \to A$), recorriendo el borde del rectángulo. El lagarto tiene el hábito de avanzar dos lados consecutivos del rectángulo, girar para retroceder uno, girar para avanzar dos, girar para retroceder uno y así sucesivamente. ¿Cuántas veces y en qué lugares se encuentran la tortuga y el lagarto cuando la tortuga completa su tercera vuelta?