4 Ana y Bruno tienen un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Ana pinta cada uno de los $64$ cuadrados con algún color. Luego, Bruno elige dos filas y dos columnas del tablero y observa los $4$ cuadrados donde se intersecan. El objetivo de Bruno es que estos $4$ cuadrados sean del mismo color. ¿Cuántos colores, como mínimo, debe usar Ana para que Bruno no pueda cumplir su objetivo? Demuestre cómo se puede pintar el tablero con esta cantidad de colores y explique por qué, si se usan menos colores, Bruno siempre puede cumplir su objetivo.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^\circ$. Una recta que une el punto medio de su altura $CH$ y el vértice $A$ corta a $CB$ en el punto $K$. Sea $L$ el punto medio de $BC$, y $T$ un punto del segmento $AB$ tal que $\angle ATK=\angle LTB$. Se sabe que $BC=1$. Encuentre el perímetro del triángulo $KTL$.

5 Veintiséis personas se reúnen en una casa. Alicia es amiga de solo una persona, Bruno es amigo de dos personas, Carlos es amigo de tres, Daniel de cuatro, Elías de cinco, y así sucesivamente, cada persona es amiga de una persona más que la anterior, hasta llegar a Yvonne, la persona número veinticinco, quien es amiga de todos. ¿De cuántas personas es amiga Zoila, la persona número veintiséis? Aclaración: Si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$.

2 La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $O$ y $O_1$ los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Demuestre que $C_1O_1\perp AO$.

2 Julia tiene $289$ monedas guardadas en cajas: todas las cajas contienen el mismo número de monedas (el cual es mayor que $1$) y en cada caja hay monedas del mismo país. Las monedas de Bolivia son más del $6\%$ del total, las de Chile son más del $12\%$ del total, las de México son más del $24\%$ del total y las de Perú son más del $36\%$ del total. ¿Puede Julia tener alguna moneda de Uruguay?

5 Una tortuga camina $60$ metros por hora y un lagarto camina a $240$ metros por hora. Existe un rectángulo $ABCD$ donde $AB =60$ y $AD =120$. Ambos comienzan desde el vértice $A$ y en la misma dirección ($A \to B \to D \to A$), recorriendo el borde del rectángulo. El lagarto tiene el hábito de avanzar dos lados consecutivos del rectángulo, girar para retroceder uno, girar para avanzar dos, girar para retroceder uno y así sucesivamente. ¿Cuántas veces y en qué lugares se encuentran la tortuga y el lagarto cuando la tortuga completa su tercera vuelta?

1 Sea $$\mathcal{S} :=\{g| g \hspace{0.1cm} \text{es una función } \hspace{0.1cm} C^{2026} \hspace{0.1cm} \text{en} \hspace{0.1cm} \mathbb{R} \hspace{0.1cm} \text{tal que} \hspace{0.1cm}g^{(2026)}(x)=g(g(x))\}$$ Aquí $g^{(2026)}$ es la derivada $2026$-ésima de $g$. Suponga que para $f \in \mathcal{S}$ se da que $f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0 \hspace{0.1cm} \forall \hspace{0.1cm} n \in \mathbb{N},$ ¿cuál es el valor de $f(e+\pi)?$

1 Pedro tiene una baraja de $1001$ cartas, y con un bolígrafo azul ha escrito los números $1, 2, \ldots, 1001$ en las cartas (un número en cada carta). Colocó las cartas en un círculo de manera que los números azules quedaran en la cara inferior de la carta. Luego, para cada carta $C$, tomó $500$ cartas consecutivas que siguen a $C$ (en sentido horario) y denotó por $f(C)$ la cantidad de números azules escritos en esas $500$ cartas que son mayores que el número azul escrito en la propia carta $C$. Finalmente, escribió este número $f(C)$ en la cara superior de la carta $C$ con un bolígrafo rojo. Demuestre que el amigo de Pedro, Basilio, quien ve todos los números rojos en estas cartas, puede determinar el número azul de cada carta.

1 Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob juegan un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$-gono regular. Alice realiza el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos, donde $k$ es el número de vértices adyacentes a $V$ que ya están coloreados. (Por lo tanto, $k$ es $0$, $1$ o $2$). El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen la misma cantidad de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

Calvin y Hobbes eligen alternativamente (Calvin primero) $2026$ enteros $(x_{k})_{k=1}^{2026} \ge n\ge 1$. Sea $\mathcal{C_{k}}$ el círculo en el plano que pasa por el origen con centro $\left(\frac{1}{x_{k}},0\right)$. La señorita Wormwood elige un punto $T$ al azar que se encuentra fuera del círculo más pequeño y dentro del círculo más grande. Sea $q$ el menor entero tal que $T$ se encuentra fuera de $\mathcal{C_{q}}$. Calvin gana si $x_{q}$ fue elegido por él. Hobbes gana en caso contrario. Encuentre la suma de todos los valores posibles de $n \leqslant 2026$ para los cuales Hobbes tiene una estrategia para tener una mayor probabilidad de ganar.