35 Dada una sucesión $(a_n)$, con $a_1 = 4$ y $a_{n+1} = a_n^2-2$ ($\forall n \in\mathbb{N}$), demuestre que existe un triángulo con longitudes de lado $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$, y que su área es igual a un entero.

13 El plano está dividido en cuadrados iguales por líneas paralelas; es decir, se da una cuadrícula. Sea $M$ un conjunto arbitrario de $n$ cuadrados de esta cuadrícula. Demuestre que es posible elegir no menos de $n/4$ cuadrados de $M$ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan un punto en común. Amir

15 Sea $n \geq 2$ un entero. Encuentre la cardinalidad máxima de un conjunto $M$ de pares $(j, k)$ de enteros, $1 \leq j < k \leq n$, con la siguiente propiedad: Si $(j, k) \in M$, entonces $(k, m) \not \in M$ para cualquier $m$. Amir

27 Para todo racional $x$ que satisface $0 \leq x < 1$, la función $f$ está definida por \[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$, encuentre, con demostración, $f(x)$. Amir

75 Dado un triángulo equilátero $ABC$, sea $M$ un punto arbitrario en el espacio. $(\text{a})$ Demuestre que se puede construir un triángulo a partir de los segmentos $MA, MB, MC$. $(\text{b})$ Suponga que $P$ y $Q$ son dos puntos simétricos con respecto al centro $O$ de $ABC$. Demuestre que los dos triángulos construidos a partir de los segmentos $PA, PB, PC$ y $QA, QB, QC$ tienen igual área.

74 Dado un triángulo equilátero $ABC$ de lado $a$ en un plano, sea $M$ un punto en el círculo circunscrito del triángulo. Demuestre que la suma $s = MA^4 +MB^4 +MC^4$ es independiente de la posición del punto $M$ en el círculo, y determine ese valor constante como una función de $a$.

38 Demuestre la siguiente afirmación: Si un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales toma solo valores no negativos, entonces existe un entero positivo $n$ y polinomios $g_1(x), g_2(x),\cdots, g_n(x)$ tales que \[f(x) = g_1(x)^2 + g_2(x)^2 +\cdots+ g_n(x)^2\]

69 Sea $N$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$, y sea $M$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$. Demuestre que $N > M$. Amir

48 En el plano se da un círculo $C$ de radio unitario. Para cualquier recta $l$, se define un número $s(l)$ de la siguiente manera: Si $l$ y $C$ se intersecan en dos puntos, $s(l)$ es su distancia; de lo contrario, $s(l) = 0$. Sea $P$ un punto a una distancia $r$ del centro de $C$. Se define $M(r)$ como el valor máximo de la suma $s(m) + s(n)$, donde $m$ y $n$ son rectas variables mutuamente ortogonales que pasan por $P$. Determine los valores de $r$ para los cuales $M(r) > 2$.

41 Demuestre la siguiente afirmación: No existe una pirámide con base cuadrada y caras laterales congruentes para la cual las medidas de todas las aristas, el área total y el volumen sean enteros.