18 Demuestre que para ningún par de enteros $a \geq 1, n \geq 1$ la suma \[1+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+2a}+\cdots+\frac{1}{1+na}\] es un entero. Amir

24 Sean $a$ y $b$ enteros coprimos, mayores o iguales a $1$. Demuestre que todos los enteros $n$ mayores o iguales a $(a - 1)(b - 1)$ pueden escribirse de la forma: \[n = ua + vb, \qquad \text{con} (u, v) \in \mathbb N \times \mathbb N.\] Amir

20 Demuestre que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial. Amir

21 Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentre todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas. Amir

37 Encuentre todas las bases de logaritmos para las cuales un número real positivo puede ser igual a su logaritmo, o demuestre que no existe ninguna. Amir

25 Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestre que $p$ es divisible por $1979$.

33 Demuestre que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$ Amir

32 Sean $n, k \ge 1$ números naturales. Encuentre el número $A(n, k)$ de soluciones en enteros de la ecuación \[|x_1| + |x_2| +\cdots + |x_k| = n\]

27 Para todo racional $x$ que satisface $0 \leq x < 1$, la función $f$ está definida por \[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$, encuentre, con demostración, $f(x)$. Amir

28 Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A.$ Desde cualquier vértice excepto $E$, salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$, se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestre que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]