1 Dos cajas contienen entre ambas 65 bolas de varios tamaños diferentes. Cada bola es blanca, negra, roja o amarilla. Si usted toma cinco bolas cualesquiera del mismo color, al menos dos de ellas siempre serán del mismo tamaño (radio). Demuestre que existen al menos tres bolas que se encuentran en la misma caja, tienen el mismo color y tienen el mismo tamaño (radio).

4 Sea una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Escribimos en cada cuadrado unitario un número real, tal que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier cuadrado de $n \times n$ es menor o igual que $1$. Demuestre que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier rectángulo de $m \times n$ es menor o igual que $4$.

4 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y $S \subset \mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros que son al menos $10^{100}$. Fije un entero positivo $c$. Determine todas las funciones $f: S \rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen $f(xy+c)=f(x)+f(y)$, para todo $x,y \in S$.

2 Sahand y Gholam juegan en una tabla de $1403\times 1403$. Inicialmente, todas las celdas unitarias son blancas. Para cada fila y columna hay una tecla asociada (en total 2806 teclas). Comenzando con Sahand, los jugadores se turnan para presionar una tecla que no haya sido presionada aún, hasta que todas las teclas hayan sido presionadas. Cuando Sahand presiona una tecla, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven negras, independientemente de sus colores previos. Cuando Gholam presiona una tecla, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven rojas, independientemente de sus colores previos. Finalmente, la puntuación de Gholam es igual al número de cuadrados rojos menos el número de cuadrados negros, y la puntuación de Sahand es igual al número de cuadrados negros menos el número de cuadrados rojos. Determine la puntuación mínima que Gholam puede garantizar si ambos jugadores juegan de manera óptima.

1 Sean $P$ y $Q$ puntos en un círculo $k$. Una cuerda $AC$ de $k$ pasa por el punto medio $M$ de $PQ$. Considere un trapecio $ABCD$ inscrito en $k$ con $AB \parallel PQ \parallel CD$. Demuestre que el punto de intersección $X$ de $AD$ y $BC$ depende solo de $k$ y $P,Q$. Amir

4 Encuentre el resto cuando $2^{1990}$ se divide por $1990.$

3 Hay siete varillas erigidas en los vértices de un área heptagonal regular. La parte superior de cada varilla está conectada a la parte superior de su segundo vecino mediante un trozo de alambre recto de tal manera que, visto desde arriba, se observa que cada alambre cruza exactamente a otros dos. ¿Es posible establecer las alturas respectivas de las varillas de tal manera que no haya cuatro partes superiores de las varillas que sean coplanares y que cada alambre pase por uno de los cruces por encima y por el otro por debajo? N.T.TUAN

1 Sea $n > 10$ un entero, y sean $A_1, A_2, \dots, A_n$ puntos distintos en el plano tales que las distancias entre los puntos son todas diferentes entre sí. Defina $f_{10}(j, k)$ como la décima distancia más pequeña desde $A_j$ a $A_1, A_2, \dots, A_k$, excluyendo $A_j$ si $k \geq j$. Suponga que para todo $j$ y $k$ que satisfacen $11 \leq j \leq k \leq n$, tenemos $f_{10}(j, j - 1) \geq f_{10}(k, j - 1)$. Demuestre que $f_{10}(j, n) \geq \frac{1}{2} f_{10}(n, n)$ para todo $j$ en el rango $1 \leq j \leq n - 1$. Propuesto por Morteza Saghafian, Irán

8 En el $\triangle ABC$, el $\angle B$ es obtuso y $AB \ne BC$. Sea $O$ el circuncentro y $\omega$ el circuncírculo de este triángulo. $N$ es el punto medio del arco $ABC$. El circuncírculo del $\triangle BON$ corta a $AC$ en los puntos $X$ e $Y$. Sean $BX \cap \omega = P \ne B$ y $BY \cap \omega = Q \ne B$. Demuestre que $P, Q$ y el reflejo de $N$ con respecto a la recta $AC$ son colineales.

2 Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales el polinomio $p(x) = x^5 -nx -n -2$ puede representarse como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Amir