1 En cierto país, las monedas tienen los siguientes valores: $2^0, 2^1, 2^2,\dots 2^{10}$. Un cajero automático tiene $1000$ monedas de cada valor y entrega el dinero usando cada moneda (de cada valor) a lo sumo una vez. Los clientes piden todos los enteros positivos: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ (en este orden) en monedas. a) Determine el primer entero tal que el cajero automático no puede proporcionarlo. b) En el momento en que el primer cliente no puede ser atendido, por falta de monedas, ¿cuáles son las monedas que no están disponibles en el cajero automático?

8 Dado un entero positivo $n \geq 2$. Sean $a_{ij}$ $(1 \leq i,j \leq n)$ $n^2$ números reales no negativos cuya suma es $1$. Para $1\leq i \leq n$, defina $R_i=max_{1\leq k \leq n}(a_{ik})$. Para $1\leq j \leq n$, defina $C_j=min_{1\leq k \leq n}(a_{kj})$. Encuentre el valor máximo de $C_1C_2 \cdots C_n(R_1+R_2+ \cdots +R_n)$.

4 Los círculos $\omega$ y $\omega_1$ son tangentes en el punto $D$. Los lados $AC$ y $AB$ son tangentes al círculo $\omega_1$. Demuestre que la recta que contiene la bisectriz del ángulo $\measuredangle CDB$ pasa por el centro del $A$-excirculo del triángulo $ABC$ (que es tangente al lado $CB$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/5/3/387a0358fd3d3fa30aaf5386d1dab62f7a0c90.png

5 ¿De cuántas maneras podemos llenar las celdas de una cuadrícula de $4\times4$ de tal manera que cada celda contenga exactamente un entero positivo y el producto de los números en cada fila y en cada columna sea $2020$?

2 Sea $A$ un conjunto infinito de números reales que contiene al menos un número irracional. Demuestre que para todo número natural $n > 1$ existe un subconjunto $S$ de $A$ con $n$ elementos tal que la suma de los elementos de $S$ es un número irracional.

9.4 Se da un $K_{2024}$ en el cual cada arista tiene peso $1$ o $2$. Si todo ciclo tiene un peso total par, encuentre el valor mínimo de la suma de todos los pesos en el grafo.

9 En el plano, considere un punto $ X$ y un polígono $ \mathcal{F}$ (que no es necesariamente convexo). Sea $ p$ el perímetro de $ \mathcal{F}$, sea $ d$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los vértices de $ \mathcal{F}$, y sea $ h$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los lados de $ \mathcal{F}$. Demuestre que $ d^2 - h^2\geq\frac {p^2}{4}.$

1 Para un entero positivo $n$, sea $S_n=1^{2024}+2^{2024}+ \cdots +n^{2024}$. Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$, tales que $S_n$ no es divisible por $1865$ pero $S_{n+1}$ es divisible por $1865$.

6 Sean $a,b,c$ números positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestre que $(1+a)\sqrt{\frac{1-a}{a}}+(1+b)\sqrt{\frac{1-b}{b}}+(1+c)\sqrt{\frac{1-c}{c}}\ge{\frac{{3}\sqrt{3}}{4}}{\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}}}$ Litlle

5 Demuestre que existen infinitos enteros $a$ tales que $(a,b)=1$, siendo $n$ y $b$ números naturales dados, y $\dfrac{a^n-b^n}{a-b}$ no es múltiplo de ningún entero mayor que 1.