421 El rey de cierto estado desea construir $n$ ciudades y $n-1$ carreteras, conectándolas para brindar la posibilidad de trasladarse de cualquier ciudad a cualquier otra. (Cada carretera conecta dos ciudades, las carreteras no se cruzan y no pasan a través de otra ciudad). Él también desea que las distancias más cortas entre las ciudades, a lo largo de las carreteras, sean $1, 2, 3, \dots, n(n-1)/2$ kilómetros. ¿Es posible para a) $n=6$ b) $n=1986$?

464 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo. Los puntos medios de las diagonales y los puntos medios de $AB$ y $CD$ forman otro cuadrilátero convexo $Q$. Los puntos medios de las diagonales y los puntos medios de $BC$ y $CA$ forman un tercer cuadrilátero convexo $Q'$. Las áreas de $Q$ y $Q'$ son iguales. Demuestre que $AC$ o $BD$ divide a $ABCD$ en dos partes de igual área.

490 Un entero positivo $n$ tiene exactamente $12$ divisores positivos $1 = d_1 < d_2 < d_3 < ... < d_{12} = n$. Sea $m = d_4 - 1$. Tenemos $d_m = (d_1 + d_2 + d_4) d_8$. Encuentre $n$.

4 Los números del 2 al 99 están escritos en una pizarra. En cada paso, se realiza una de las siguientes operaciones: $a)$ Elija un número natural \( i \) tal que \( 2 \leq i \leq 89 \). Si ambos números \( i \) e \( i+10 \) están en la pizarra, bórrelos ambos. $b)$ Elija un número natural \( i \) tal que \( 2 \leq i \leq 98 \). Si ambos números \( i \) e \( i+1 \) están en la pizarra, bórrelos ambos. Al realizar estas operaciones, ¿cuál es el número máximo de números que pueden ser borrados de la pizarra? Propuesto por Arvin Taheri y Sajjad Hosseini

6 En una hoja infinita de papel cuadriculado, en cada fila exactamente una celda contiene un círculo. ¿Existe siempre una línea recta que interseca al menos a) $3$ círculos, b) $4$ círculos?

3 Sea $p > 3$ un número primo y $x$ un entero, denotamos por $r(x) \in \{0, 1, ..., p - 1\}$ al resto de $x$ módulo $p$. Sean $x_1, x_2, ..., x_k$ ($2 < k < p$) enteros distintos módulo $p$ y no divisibles por $p$. Decimos que un número $a \in \{1, 2, ..., p - 1\}$ es bueno si $r(a x_1) < r(a x_2) < ... < r(a x_k)$. Demuestre que hay a lo sumo $\frac{2p}{k + 1} - 1$ números buenos.

5 Desde un punto $M$ situado en la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo, trace rectas perpendiculares a las rectas que conectan el centro del círculo con los vértices del triángulo. Demuestre que el incentro del triángulo formado al tomar los vértices del triángulo original y los pies de estas perpendiculares se encuentra en la recta de Simson del punto $M$.

9.1 Se han dibujado en una hoja de papel rectangular varios segmentos de recta paralelos a sus lados. Estos segmentos dividieron la hoja en varios rectángulos, dentro de los cuales no hay líneas dibujadas. Petya quiere dibujar una diagonal en cada uno de los rectángulos, dividiéndolo en dos triángulos, y colorear cada triángulo de negro o blanco. ¿Es siempre posible hacer esto de tal manera que no haya dos triángulos del mismo color que compartan un segmento de su frontera?

420 El punto $M$ pertenece al lado $[AC]$ del triángulo acutángulo $ABC$. Se circunscriben dos círculos alrededor de los triángulos $ABM$ y $BCM$. ¿Qué posición de $M$ corresponde al área mínima de la intersección de dichos círculos?

8 Suponga que \( n \in \mathbb{N} \) es un número natural. Una función \( f(x, y) \) se denomina \textit{\( n \)-amigable} si para menos del 1\% de los enteros \( k \) con \( -n \leq k \leq n \), la ecuación \( f(x, y) = k \) tiene una solución en números naturales \( (x, y) \) tal que \( \frac{y_0}{x_0} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \), donde \( (x_0, y_0) \) es una solución. Suponga que \( f(x, y) \leq g(x, y) \), donde \( g(x, y) \) es un polinomio con coeficientes reales, coeficientes principales negativos y grado total mayor que 2, y para todo número real \( x \), tenemos que \( g(x, y) \to \infty \) cuando \( \frac{y}{x} \in \left[\frac{1}{100}, 100\right] \). Demuestre que para \( n \) suficientemente grande, la función \( f \) no es \( n \)-amigable. Propuesto por Navid Safaei