2 Suponga que \( p \) es un número primo. Tenemos una cantidad de cartas, cada una de las cuales tiene un número escrito de tal manera que cada uno de los números \( 1, \dots, p-1 \) aparece a lo sumo una vez y el $0$ aparece exactamente una vez. Para diseñar un juego, para cada par de cartas \( x \) e \( y \), queremos determinar qué carta gana sobre la otra. Deben satisfacerse las siguientes condiciones: $a)$ Si la carta \( x \) gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) gana sobre la carta \( z \), entonces la carta \( x \) también debe ganar sobre la carta \( z \). $b)$ Si la carta \( x \) no gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) no gana sobre la carta \( z \), entonces para cualquier carta \( t \), la carta \( x + z \) no debe ganar sobre la carta \( y + t \). ¿Cuál es el número máximo de cartas tal que el juego pueda ser diseñado (es decir, una carta no derrota a otra a menos que la victoria sea simétrica o consistente)? Propuesto por Ali Partofard

398 Se deben pintar todos los lados y diagonales de un $n$-gono regular de tal manera que cada par de segmentos que tengan un punto en común sea pintado con colores diferentes. ¿Cuántos colores se requerirán?

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

9.1 Se han dibujado en una hoja de papel rectangular varios segmentos de recta paralelos a sus lados. Estos segmentos dividieron la hoja en varios rectángulos, dentro de los cuales no hay líneas dibujadas. Petya quiere dibujar una diagonal en cada uno de los rectángulos, dividiéndolo en dos triángulos, y colorear cada triángulo de negro o blanco. ¿Es siempre posible hacer esto de tal manera que no haya dos triángulos del mismo color que compartan un segmento de su frontera?

3 Sea $p > 3$ un número primo y $x$ un entero, denotamos por $r(x) \in \{0, 1, ..., p - 1\}$ al resto de $x$ módulo $p$. Sean $x_1, x_2, ..., x_k$ ($2 < k < p$) enteros distintos módulo $p$ y no divisibles por $p$. Decimos que un número $a \in \{1, 2, ..., p - 1\}$ es bueno si $r(a x_1) < r(a x_2) < ... < r(a x_k)$. Demuestre que hay a lo sumo $\frac{2p}{k + 1} - 1$ números buenos.

1 Sea \( a_n \) una sucesión de números reales positivos tal que para todo \( n > 2025 \), tenemos: \[ a_n = \max_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} - \min_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} \] Demuestre que existe un número natural \( M \) tal que para todo \( n > M \), se cumple lo siguiente: \[ a_n < \frac{1}{1404} \] Propuesto por Navid Safaei

537 Cuatro rectas en el plano se cortan en seis puntos. Cada recta queda así dividida en dos segmentos y dos rayos. ¿Es posible que los ocho segmentos tengan longitudes $1, 2, 3, ... , 8$? ¿Pueden las longitudes de los ocho segmentos ser ocho enteros distintos?

4 Encuentre todas las funciones $f:Z\to Z$ con la siguiente propiedad: si $x+y+z=0$, entonces $f(x)+f(y)+f(z)=xyz.$

3 En el triángulo $ABC$, sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. El círculo $AEF$ corta a la recta $BC$ en $P$ y $Q$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. Demuestre que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$.

1 Determine los valores de $n \in \mathbb{N}$ tales que un cuadrado de lado $n$ puede ser dividido en un cuadrado de lado $1$ y cinco rectángulos cuyas medidas de lado son $10$ números naturales distintos y todos mayores que $1$.