044 Dado un conjunto arbitrario de $2k+1$ enteros $\{a_1,a_2,...,a_{2k+1}\}$. Formamos un nuevo conjunto $$ \{(a_1+a_2)/2, (a_2+a_3)/2, ..., (a_{2k}+a_{2k+1})/2, (a_{2k+1}+a_1)/2\}$$ y uno nuevo, siguiendo la misma regla, y así sucesivamente... Demuestre que si obtenemos solo enteros, el conjunto inicial consistía únicamente en enteros iguales.

3 Considere un círculo de centro $O$ y una cuerda $AB$ del mismo (que no sea un diámetro). Tome un punto $T$ en el rayo $OB$. La perpendicular en $T$ a $OB$ corta a la cuerda $AB$ en $C$ y al círculo en $D$ y $E$. Denote por $S$ la proyección ortogonal de $T$ sobre la cuerda $AB$. Demuestre que $AS \cdot BC = TE \cdot TD$.

3 Sea $n$ un entero positivo. Llamamos $C_n$ al número de enteros positivos $x$ menores que $10^n$ tales que la suma de los dígitos de $2x$ es menor que la suma de los dígitos de $x$. Demuestre que $C_n\geq\frac{4}{9}(10^{n}-1)$.

041 Las dos alturas en el triángulo no son menores que los lados respectivos. Encuentre los ángulos.

1 Sea $A_1A_2...A_{2010}$ un polígono regular de $2010$ lados. Encuentre el número de triángulos obtusángulos cuyos vértices se encuentran entre $A_1$ , $A_2$ , $ ...$ , $A_{2010}$ .

4 Encuentre la solución de la ecuación funcional $P(x)+P(1-x)=1$ con potencia $2015$. P.D: $P(y)=y^{2015}$ es también una función con potencia $2015$.

004 Dada una tabla $4\times 4$. a) Encuentre cómo se pueden colocar $7$ estrellas en sus casillas de tal manera que al borrar dos filas y dos columnas arbitrarias siempre quede al menos una de las estrellas. b) Demuestre que si hay menos de $7$ estrellas, siempre se pueden encontrar dos columnas y dos filas tales que, si se borran, no quede ninguna estrella en la tabla.

1 Encuentre el valor máximo de componentes naturales del número $96$ que podemos separar de tal manera que todos ellos deban ser números primos entre sí.

4 En una escuela hay $n$ clases y $k$ estudiantes. Sabemos que en esta escuela cada dos estudiantes han asistido exactamente a una clase en común. Además, debido a lo pequeño de la escuela, cada clase tiene menos de $k$ estudiantes. Si $k-1$ no es un cuadrado perfecto, demuestre que existe un estudiante que ha asistido al menos a $\sqrt k$ clases. Propuesto por Mohammad Moshtaghi Far, Kian Shamsaie Calificación 4

252 Sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt n$. Encuentre la suma $$1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_{1980}$$