4 Arnaldo selecciona un entero no negativo $a$ y Bernaldo selecciona un entero no negativo $b$. Ambos le dicen secretamente su número a Cernaldo, quien escribe los números $5$, $8$ y $15$ en la pizarra, siendo uno de ellos la suma $a+b$. Cernaldo hace sonar una campana y Arnaldo y Bernaldo, individualmente, escriben en diferentes trozos de papel si saben o no cuál de los números en la pizarra es la suma $a+b$ y se los entregan a Cernaldo. Si ambos papeles dicen NO, Cernaldo hace sonar la campana de nuevo y el proceso se repite. Se sabe que tanto Arnaldo como Bernaldo son honestos e inteligentes. ¿Cuál es el número máximo de veces que puede sonar la campana hasta que uno de ellos conozca la suma? Nota personal: Realmente se esforzaron poco con los nombres ahí...

5 Considere dos sucesiones $x_n=an+b$, $y_n=cn+d$ donde $a,b,c,d$ son números naturales y $gcd(a,b)=gcd(c,d)=1$, demuestre que existen infinitos $n$ tales que $x_n$ e $y_n$ son ambos libres de cuadrados. Propuesto por Siavash Rahimi Shateranloo, Matin Yadollahi. Clasificación 3

2 Sean $ a_1 , a_2 , \cdots , a_k $ números tales que $ a_i \in \{ 0,1,2,3 \} ( i= 1, 2, \cdots ,k) $. Sea $ z = ( x_k , x_{k-1} , \cdots , x_1 )_4 $ una expansión en base 4 de $ z \in \{ 0, 1, 2, \cdots , 4^k -1 \} $. Defina $ A $ de la siguiente manera: \[ A = \{ z | p(z)=z, z=0, 1, \cdots ,4^k-1 \}\] donde \[ p(z) = \sum_{i=1}^{k} a_i x_i 4^{i-1} . \] Demuestre que el número de elementos en $ A $ es una potencia de 2.

042 Demuestre que para ningún natural $m$ un número $m(m+1)$ es una potencia de un entero.

4 Sea $n$ un entero positivo y sean $u_1,u_2,\cdots ,u_n$ enteros positivos no mayores que $2^k,$ para algún entero $k\geq 3.$ Una representación de un entero no negativo $t$ es una sucesión de enteros no negativos $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ tal que $t=a_1u_1+a_2u_2+\cdots +a_nu_n.$ Demuestre que si un entero no negativo $t$ tiene una representación, entonces también tiene una representación donde menos de $2k$ de los números $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ son distintos de cero.

2 Resuelva en enteros $20^x+13^y=2013^z$ .

015 Dados los números positivos $a_1,a_2,...,a_{99},a_{100}$. Se sabe que $$a_1>a_0, a_2=3a_1-2a_0, a_3=3a_2-2a_1, ..., a_{100}=3a_{99}-2a_{98}$$ Demuestre que $$a_{100}>2^{99}.$$

1 Maxi eligió $3$ dígitos y, al escribir todas las permutaciones posibles de estos dígitos, obtuvo $6$ números de $3$ dígitos distintos. Si exactamente uno de esos números es un cuadrado perfecto y exactamente tres de ellos son primos, encuentre los $3$ dígitos de Maxi. Dé todas las posibilidades para los $3$ dígitos.

027 Dadas $5$ circunferencias, cada cuatro de ellas tienen un punto en común. Demuestre que existe un punto que pertenece a las cinco circunferencias.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $P, Q$ puntos sobre $AB, AC$ respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$. Se dan los puntos $X, Y$ sobre los segmentos $BQ, CP$ respectivamente, tales que $\angle AXP = \angle XCB$ y $\angle AYQ = \angle YBC$. Demuestre que $AX = AY$. Propuesto por Ervin Macić, Bosnia y Herzegovina.