016 Demuestre que no existen enteros $a,b,c,d$ tales que el polinomio $ax^3+bx^2+cx+d$ sea igual a $1$ en $x=19$ y sea igual a $2$ en $x=62$.

3 Encuentre la solución de la ecuación $8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1$ en el intervalo $[0,1]$.

Sea $ABC$ un triángulo con lados $AB=20$, $AC=21$ y $BC=29$. Sean $D$ y $E$ puntos en el lado $BC$ tales que $BD=8$ y $EC=9$. Encuentre el ángulo $\angle DAE$.

1 $\boxed{N1}$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $1^3+2^3+\cdots+{16}^3+{17}^n$ es un cuadrado perfecto.

5 Utilizando triángulos equiláteros de cartón de longitud de lado $1$, se forma un triángulo equilátero de longitud de lado $2^{2004}$. Se retira un triángulo equilátero de lado $1$ cuyo centro coincide con el centro del triángulo grande. Determine si es posible cubrir completamente la superficie restante, sin solapamientos ni huecos, utilizando únicamente piezas con forma de trapecio isósceles, cada una de las cuales se crea uniendo tres triángulos equiláteros de lado $1$.

027 Dadas $5$ circunferencias, cada cuatro de ellas tienen un punto en común. Demuestre que existe un punto que pertenece a las cinco circunferencias.

059 Un boleto de autobús se considera afortunado si la suma de los tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres últimos ( $6$ dígitos en los autobuses rusos). Demuestre que la suma de todos los números afortunados es divisible por $13$ .

042 Demuestre que para ningún natural $m$ un número $m(m+1)$ es una potencia de un entero.

2 Dado un círculo $C$ y un punto $P$ en su exterior, se trazan dos tangentes al círculo que pasan por $P$, siendo $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Tomamos un punto $Q$ en el arco menor $AB$ de $C$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con la recta perpendicular a $AQ$ que pasa por $P$, y sea $N$ la intersección de $BQ$ con la recta perpendicular a $BQ$ que pasa por $P$. Demuestre que, al variar $Q$ en el arco menor $AB$, todas las rectas $MN$ pasan por el mismo punto.

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AB=AD$. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $CD$, respectivamente, tales que $BE+DF=EF$. Demuestre que $\angle BAD = 2 \angle EAF$.