8.5 Demuestre que cada entero $n\ge3$ puede escribirse como una suma de algunos números naturales consecutivos si y solo si no es una potencia de 2

7.4 Sea el triángulo $ABC$ con $AB = 10$ cm y $\angle C= 15^o$, recto en $B$. El punto $D \in (AC)$ es el pie de la altura trazada desde $B$. Encuentre la distancia del punto $D$ a la recta $AB$.

1 Antes de irse de vacaciones, cada uno de los $7$ alumnos decidió enviar una postal a cada uno de sus $3$ compañeros de clase. ¿Es posible que cada estudiante reciba postales únicamente de los compañeros a quienes él les ha enviado postales?

6 Resuelva en enteros el sistema de ecuaciones: $$x^2-y^2=z$$ $$3xy+(x-y)z=z^2$$

2 Resuelva en enteros $20^x+13^y=2013^z$ .

059 Un boleto de autobús se considera afortunado si la suma de los tres primeros dígitos es igual a la suma de los tres últimos ( $6$ dígitos en los autobuses rusos). Demuestre que la suma de todos los números afortunados es divisible por $13$ .

2 Sean $ a_1 , a_2 , \cdots , a_k $ números tales que $ a_i \in \{ 0,1,2,3 \} ( i= 1, 2, \cdots ,k) $. Sea $ z = ( x_k , x_{k-1} , \cdots , x_1 )_4 $ una expansión en base 4 de $ z \in \{ 0, 1, 2, \cdots , 4^k -1 \} $. Defina $ A $ de la siguiente manera: \[ A = \{ z | p(z)=z, z=0, 1, \cdots ,4^k-1 \}\] donde \[ p(z) = \sum_{i=1}^{k} a_i x_i 4^{i-1} . \] Demuestre que el número de elementos en $ A $ es una potencia de 2.

1 $\boxed{N1}$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $1^3+2^3+\cdots+{16}^3+{17}^n$ es un cuadrado perfecto.

1 El incírculo de un triángulo no isósceles $ABC$ con centro $I$ toca los lados $BC, CA, AB$ en $A_1, B_1, C_1$ respectivamente. La recta $AI$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $A_2$. La recta $B_1 C_1$ corta a la recta $BC$ en $A_3$ y la recta $A_2 A_3$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $A_4 (\ne A_2)$. Defina $B_4, C_4$ de manera similar. Demuestre que las rectas $AA_4, BB_4, CC_4$ son concurrentes.

4 Un rectángulo en el sistema cartesiano xy se denomina reticular si todos sus vértices tienen coordenadas enteras. a) Encuentre un rectángulo reticular de área $2013$, cuyos lados no sean paralelos a los ejes. b) Demuestre que si un rectángulo reticular tiene área $2011$, entonces sus lados son paralelos a los ejes.