8.5 Demuestre que cada entero $n\ge3$ puede escribirse como una suma de algunos números naturales consecutivos si y solo si no es una potencia de 2

7.4 Sea el triángulo $ABC$ con $AB = 10$ cm y $\angle C= 15^o$, recto en $B$. El punto $D \in (AC)$ es el pie de la altura trazada desde $B$. Encuentre la distancia del punto $D$ a la recta $AB$.

Los números naturales $1, 2, 3, \dots, 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con razones enteras). Demuestre que $N \ge 31$.

2 Diecisiete ciudades son atendidas por cuatro aerolíneas. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos ciudades y que todos los itinerarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir

4. Suponga que cuatro personas A, B, C y D deciden jugar partidos de tenis en dobles. Primero podrían jugar el equipo A y B contra el equipo C y D. Luego, A y C podrían jugar contra B y D. Finalmente, A y D podrían jugar contra B y C. La ventaja de este arreglo es que se satisfacen dos condiciones: (a) Cada jugador está en el mismo equipo que cada uno de los otros jugadores exactamente una vez. (b) Cada jugador está en el equipo contrario a cada uno de los otros jugadores exactamente dos veces. ¿Es posible organizar una colección de partidos de tenis que satisfaga tanto la condición (a) como la condición (b) en las siguientes circunstancias? (i) Hay cinco jugadores. (ii) Hay siete jugadores. (iii) Hay nueve jugadores.

14 Sea $\ell$ tangente al círculo $k$ en $B$. Sea $A$ un punto en $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ el simétrico de $P$ con respecto a $AB$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$. Amir

3 Sea $k$ un entero positivo. Determine el menor entero positivo $n$, con $n\geq k+1$, para el cual el juego descrito a continuación puede jugarse indefinidamente: Considere $n$ cajas, etiquetadas $b_1,b_2,...,b_n$. Para cada índice $i$, la caja $b_i$ contiene exactamente $i$ monedas. En cada paso, se realizan los siguientes tres subpasos en orden: (1) Elija $k+1$ cajas; (2) De estas $k+1$ cajas, elija $k$ y retire al menos la mitad de las monedas de cada una, y añada a la caja restante, si está etiquetada como $b_i$, un número de $i$ monedas. (3) Si una de las cajas queda vacía, el juego termina; de lo contrario, pase al siguiente paso. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre

2 Sobre los lados de un hexágono convexo $ABCDEF$, se construyen triángulos equiláteros en su exterior. Demuestre que los terceros vértices de estos seis triángulos son vértices de un hexágono regular si y solo si el hexágono inicial es afín regular. (Un hexágono se denomina afín regular si es centralmente simétrico y cualesquiera dos lados opuestos son paralelos a la diagonal determinada por los dos vértices restantes). N.T.TUAN

3 Cada entero positivo está coloreado de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de los enteros positivos en sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$, entonces $f(x)\le f(y)$; y (b) si $x, y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$, entonces $f(x)+f(y)=f(z)$. Demuestre que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todo entero positivo $x$. (Reino Unido) Ben Elliott

1 Considere las sucesiones $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidas seleccionando cualesquiera $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 definiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ |. 1-En el caso particular en que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el inicio de la sucesión, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$. 2-Demuestre que para cada sucesión, existe una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$. 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$, la sucesión resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que la longitud mínima $p$ del periodo descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la sucesión.