13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales a $p.$ Demuestre que para cada número natural $r$ menor o igual a $p,$ existen dos números (posiblemente iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\] Amir

10 ¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene la mayor cantidad de divisores? Amir

Se dan $2021$ puntos en el plano en posición convexa, tales que no hay tres colineales ni cuatro concíclicos. Demuestre que existen dos de ellos tales que todo círculo que pasa por estos dos puntos contiene al menos $673$ de los otros puntos en su interior. (Un conjunto finito de puntos en el plano está en posición convexa si los puntos son los vértices de un polígono convexo.)

4 Sea $a_1=2$ y, para todo entero positivo $n$, sea $a_{n+1}$ el entero más pequeño estrictamente mayor que $a_n$ que tiene más divisores positivos que $a_n$. Demuestre que $2a_{n+1}=3a_n$ solo para un número finito de índices $n$. Propuesto por Ilija Jovčevski, Macedonia del Norte

6 En el lado $AB$ de un triángulo isósceles $ABC$ ($AC=BC$) se encuentran los puntos $P$ y $Q$ tales que $\angle PCQ \le \frac{1}{2} \angle ACB$. Demuestre que $PQ \le \frac{1}{2} AB$.

1 Dado un número finito de niños y niñas, un conjunto sociable de niños es un conjunto de niños tal que cada niña conoce al menos a un niño de ese conjunto; y un conjunto sociable de niñas es un conjunto de niñas tal que cada niño conoce al menos a una niña de ese conjunto. Demuestre que el número de conjuntos sociables de niños y el número de conjuntos sociables de niñas tienen la misma paridad. (Se asume que el conocimiento es mutuo.) (Polonia) Marek Cygan

5 Resuelva en enteros positivos: $\frac{1}{x^2}+\frac{y}{xz}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{2013}$ .

4 Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow\mathbb{Z}^+$ tales que se cumplen ambas condiciones siguientes: (i) $f(n!)=f(n)!$ para todo entero positivo $n$, (ii) $m-n$ divide a $f(m)-f(n)$ siempre que $m$ y $n$ sean enteros positivos distintos.

5 Igual que en Seniors

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $D$ el punto medio de $AC$, $E$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AB$ y $DE$. El punto $H$ se encuentra en el arco $BC$ de $\omega$ (el que no contiene a $A$) tal que $\angle BHE=\angle ABC$. Demuestre que $\angle BHF=90^\circ$.