2 Demuestre que \[\sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)} \geq 4(xy+yz+zx),\] para todos los números reales positivos $x,y$ y $z$.

9 Considere el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a ningún otro término de la misma. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentre los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este orden. Amir

8 ¿Pueden tres personas, que disponen de una motocicleta biplaza, recorrer una distancia de $70$ km en $3$ horas? La velocidad del peatón es de $5$ km/h y la velocidad de la motocicleta es de $50$ km/h.

3 Sea $ABC$ un triángulo isósceles acutángulo ($AB=BC$) inscrito en un círculo con centro $O$. La recta que pasa por el punto medio de la cuerda $AB$ y el punto $O$ corta a la recta $AC$ en $L$ y al círculo en el punto $P$. Sea la bisectriz del ángulo $BAC$ que corta al círculo en el punto $K$. Las rectas $AB$ y $PK$ se cortan en el punto $D$. Demuestre que los puntos $L, B, D$ y $P$ yacen sobre el mismo círculo.

Los números naturales $1, 2, 3, \dots, 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con razones enteras). Demuestre que $N \ge 31$.

3 Sea $k$ un entero positivo. Determine el menor entero positivo $n$, con $n\geq k+1$, para el cual el juego descrito a continuación puede jugarse indefinidamente: Considere $n$ cajas, etiquetadas $b_1,b_2,...,b_n$. Para cada índice $i$, la caja $b_i$ contiene exactamente $i$ monedas. En cada paso, se realizan los siguientes tres subpasos en orden: (1) Elija $k+1$ cajas; (2) De estas $k+1$ cajas, elija $k$ y retire al menos la mitad de las monedas de cada una, y añada a la caja restante, si está etiquetada como $b_i$, un número de $i$ monedas. (3) Si una de las cajas queda vacía, el juego termina; de lo contrario, pase al siguiente paso. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre

1 Considere las sucesiones $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidas seleccionando cualesquiera $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 definiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ |. 1-En el caso particular en que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el inicio de la sucesión, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$. 2-Demuestre que para cada sucesión, existe una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$. 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$, la sucesión resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que la longitud mínima $p$ del periodo descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la sucesión.

14 Sea $\ell$ tangente al círculo $k$ en $B$. Sea $A$ un punto en $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ el simétrico de $P$ con respecto a $AB$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$. Amir

3 Cada entero positivo está coloreado de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de los enteros positivos en sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$, entonces $f(x)\le f(y)$; y (b) si $x, y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$, entonces $f(x)+f(y)=f(z)$. Demuestre que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todo entero positivo $x$. (Reino Unido) Ben Elliott

1 Se sabe que en un conjunto de cinco monedas, tres son auténticas (y tienen el mismo peso), mientras que dos monedas son falsas, cada una de las cuales tiene un peso diferente al de una moneda auténtica. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas en una balanza de dos platillos que se necesita para localizar una moneda auténtica?