Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $D$ el punto medio de $AC$, $E$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AB$ y $DE$. El punto $H$ se encuentra en el arco $BC$ de $\omega$ (el que no contiene a $A$) tal que $\angle BHE=\angle ABC$. Demuestre que $\angle BHF=90^\circ$.

2 Sean $ a,b,c\geq 0$ tales que $ a+b+c=1$ . Demuestre que: $ a^2+b^2+c^2\geq 4(ab+bc+ca)-1$

Se dan $2021$ puntos en el plano en posición convexa, tales que no hay tres colineales ni cuatro concíclicos. Demuestre que existen dos de ellos tales que todo círculo que pasa por estos dos puntos contiene al menos $673$ de los otros puntos en su interior. (Un conjunto finito de puntos en el plano está en posición convexa si los puntos son los vértices de un polígono convexo.)

13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales a $p.$ Demuestre que para cada número natural $r$ menor o igual a $p,$ existen dos números (posiblemente iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\] Amir

10 ¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene la mayor cantidad de divisores? Amir

5 Considere el conjunto $\mathbb Q^2$ de puntos en $\mathbb R^2$, cuyas dos coordenadas son racionales. (a) Demuestre que la unión de segmentos con vértices en $\mathbb Q^2$ es el conjunto $\mathbb R^2$ completo. (b) ¿Es la envolvente convexa de $\mathbb Q^2$ (es decir, el conjunto convexo más pequeño en $\mathbb R^2$ que contiene a $\mathbb Q^2$) igual a $\mathbb R^2$? Amir

2 ¿Es posible organizar enteros en las celdas de una cuadrícula infinita de modo que cada entero aparezca al menos en una celda, y la suma de cualesquiera $10$ números en una fila vertical u horizontal sea divisible por $101$?

5 Igual que en Seniors

5 Dado un entero positivo $n\ge 3$, coloree cada celda de una cuadrícula de $n\times n$ con uno de $\lfloor (n+2)^2/3\rfloor$ colores, utilizando cada color al menos una vez. Demuestre que existe algún subarreglo rectangular de $1\times 3$ o $3\times 1$ cuyas tres celdas estén coloreadas con tres colores diferentes. (Rusia) Ilya Bogdanov, Grigory Chelnokov, Dmitry Khramtsov

4 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $2^{2^n+1}+1$ es divisible por $n$ pero $2^n+1$ no lo es. (Rusia) Valery Senderov