41 Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una aplicación de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ existen que satisfagan la siguiente propiedad: el número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$? Amir

53 Sea $a \in \mathbb R$ y sean $z_1, z_2, \ldots, z_n$ números complejos de módulo $1$ que satisfacen la relación \[\sum_{k=1}^n z_k^3=4(a+(a-n)i)- 3 \sum_{k=1}^n \overline{z_k}\] Demuestre que $a \in \{0, 1,\ldots, n \}$ y $z_k \in \{1, i \}$ para todo $k.$ Amir

55 Para cada $a \in \mathbb N$, denote por $M(a)$ el número de elementos del conjunto \[ \{ b \in \mathbb N | a + b \text{ es un divisor de } ab \}.\] Encuentre $\max_{a\leq 1983} M(a).$ Amir

24 Todo $x$, $0 \leq x \leq 1$, admite una representación única $x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}$, donde todos los $a_j$ pertenecen a $\{0, 1\}$ e infinitos de ellos son $0$. Si $b(0) = \frac{1+c}{2+c}$, $b(1) =\frac{1}{2+c}$, $c > 0$, y \[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\] demuestre que $0 < f(x) -x < c$ para todo $x$, $0 < x < 1$. Amir

38 Sea $\{u_n \}$ la sucesión definida por sus dos primeros términos $u_0, u_1$ y la fórmula de recurrencia \[u_{n+2 }= u_n - u_{n+1}.\] (a) Demuestre que $u_n$ puede escribirse de la forma $u_n = \alpha a^n + \beta b^n$ , donde $a, b, \alpha, \beta$ son constantes independientes de $n$ que deben ser determinadas. (b) Si $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ , demuestre que $S_n + u_{n-1}$ es una constante independiente de $n.$ Determine esta constante. Amir

29 Sea $O$ un punto fuera de un círculo dado. Dos rectas $OAB$ y $OCD$ que pasan por $O$ cortan al círculo en $A, B, C, D$, donde $A$ y $C$ son los puntos medios de $OB$ y $OD$, respectivamente. Adicionalmente, el ángulo agudo $\theta$ entre las rectas es igual al ángulo agudo con el que cada recta corta al círculo. Encuentre $\cos \theta$ y demuestre que las tangentes al círculo en $A$ y $D$ se cortan sobre la recta $BC$.

17 ¿De cuántas formas se pueden organizar los números $1, 2, \ldots, 2n$ en una matriz rectangular de $2 \times n$ $\left(\begin{array}{cccc}a_1& a_2 & \cdots & a_n\\b_1& b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right)$ tal que: (i) $a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ (ii) $b_1 < b_2 <\cdots < b_n,$ (iii) $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n \ ?$ Amir

20 Sean $f$ y $g$ funciones del conjunto $A$ en el mismo conjunto $A$. Definimos $f$ como una raíz funcional $n$-ésima de $g$ ($n$ es un entero positivo) si $f^n(x) = g(x)$, donde $f^n(x) = f^{n-1}(f(x)).$ (a) Demuestre que la función $g : \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = 1/x$ tiene un número infinito de raíces funcionales $n$-ésimas para cada entero positivo $n.$ (b) Demuestre que existe una biyección de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que no tiene ninguna raíz funcional $n$-ésima para cada entero positivo $n.$ Amir

19 Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ una sucesión definida por $a_0 = 0$ y \[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\] Demuestre que para cada entero positivo $n$, $a_n$ es un entero positivo. Amir

73 Sea $ABC$ un triángulo no equilátero. Demuestre que existen dos puntos $P$ y $Q$ en el plano del triángulo, uno en el interior y otro en el exterior del circuncírculo de $ABC$, tales que las proyecciones ortogonales de cualquiera de estos dos puntos sobre los lados del triángulo son vértices de un triángulo equilátero. Amir