8 Para un grafo finito $G$, sea $f(G)$ el número de triángulos y $g(G)$ el número de tetraedros formados por las aristas de $G$. Encuentre la menor constante $c$ tal que \[g(G)^3\le c\cdot f(G)^4\] para todo grafo $G$. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de $n$ colores distintos de modo que cada color se utilice al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentre todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij

3 Veintiuna chicas y veintiún chicos participaron en una competición matemática. Resultó que cada concursante resolvió como máximo seis problemas, y para cada par formado por una chica y un chico, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la chica como por el chico. Demuestre que existe un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos.

31 Encuentre todas las funciones $f$ definidas sobre el conjunto de los números reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$.

69 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestre que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

67 La altura desde un vértice de un tetraedro dado se interseca con la cara opuesta en su ortocentro. Demuestre que las cuatro alturas del tetraedro son concurrentes. Amir

60 Encuentre el mayor entero menor o igual a $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$ Amir

2 Demuestre que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , \[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

32 Sean $a, b, c$ números reales positivos y sea $[x]$ el mayor entero que no excede al número real $x$. Suponga que $f$ es una función definida sobre el conjunto de los enteros no negativos $n$ y que toma valores reales tal que $f(0) = 0$ y \[f(n) \leq an + f([bn]) + f([cn]), \qquad \text{ para todo } n \geq 1.\] Demuestre que si $b + c < 1$, existe un número real $k$ tal que \[f(n) \leq kn \qquad \text{ para todo } n \qquad (1)\] mientras que si $b + c = 1$, existe un número real $K$ tal que $f(n) \leq K n \log_2 n$ para todo $n \geq 2$. Demuestre que si $b + c = 1$, puede no existir un número real $k$ que satisfaga $(1).$ Amir