7 ¿Para qué dígitos $a$ existen enteros $n \geq 4$ tales que cada dígito de $\frac{n(n+1)}{2}$ es igual a $a \ ?$ Amir

18 Si se da un triángulo acutángulo $ABC$, construya un triángulo equilátero $A'B'C'$ en el espacio tal que las rectas $AA', BB', CC'$ pasen por un punto dado. Amir

28 En el plano, considere un círculo con centro $S$ y radio $1.$ Sea $ABC$ un triángulo arbitrario que tiene a este círculo como su incírculo, y suponga que $SA\leq SB\leq SC.$ Encuentre el lugar geométrico de: a.) todos los vértices $A$ de tales triángulos; b.) todos los vértices $B$ de tales triángulos; c.) todos los vértices $C$ de tales triángulos.

32 Las longitudes de los lados $a,$ $b,$ $c$ de un triángulo $ABC$ forman una progresión aritmética (tal que $b-a=c-b$). Las longitudes de los lados $a_{1},$ $b_{1},$ $c_{1}$ de un triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ también forman una progresión aritmética (con $b_{1}-a_{1}=c_{1}-b_{1}$). [Por lo tanto, $a=BC,$ $b=CA,$ $c=AB,$ $a_{1}=B_{1}C_{1},$ $b_{1}=C_{1}A_{1},$ $c_{1}=A_{1}B_{1}.$] Además, sabemos que $\measuredangle CAB=\measuredangle C_{1}A_{1}B_{1}.$ Demuestre que los triángulos $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ son semejantes.

60 $(SWE 3)$ Encuentre el número natural $n$ con las siguientes propiedades: $(1)$ Sea $S = \{P_1, P_2, \cdots\}$ un conjunto finito arbitrario de puntos en el plano, y $r_j$ la distancia desde $P_j$ al origen $O.$ Asignamos a cada $P_j$ el disco cerrado $D_j$ con centro en $P_j$ y radio $r_j.$ Entonces, algunos $n$ de estos discos contienen todos los puntos de $S.$ $(2)$ $n$ es el entero más pequeño con la propiedad anterior.

153 Dados $25$ números positivos diferentes. Demuestre que se pueden elegir dos de ellos tales que ninguno de los otros números sea igual ni a la suma ni a la diferencia entre los números elegidos.

10 Sea $m$ un entero, $m \ge 2$. Cada estudiante en una escuela practica a lo sumo $m$ pasatiempos. Entre cualesquiera $m$ estudiantes existen dos estudiantes que tienen un pasatiempo en común. Encuentre el número mínimo de estudiantes para el cual debe existir un pasatiempo que sea practicado por al menos $3$ estudiantes.

12 Los círculos $k_1$ y $k_2$ se cortan en los puntos $M$ y $N$. La recta $\ell$ corta al círculo $k_1$ en los puntos $A$ y $C$ y al círculo $k_2$ en los puntos $B$ y $D$, de tal manera que los puntos $A, B, C$ y $D$ se encuentran sobre la recta $\ell$ en ese orden. Sea $X$ un punto en la recta $MN$ tal que el punto $M$ está entre los puntos $X$ y $N$. Las rectas $AX$ y $BM$ se cortan en el punto $P$ y las rectas $DX$ y $CM$ se cortan en el punto $Q$. Demuestre que $PQ \parallel \ell$.

9 Se da un número con $1998$ dígitos que es divisible por $9$. Sea $x$ la suma de sus dígitos, sea $y$ la suma de los dígitos de $x$, y $z$ la suma de los dígitos de $y$. Encuentre $z$.

11 Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $(n^2 + 11n - 4) \cdot n! + 33 \cdot 13^n + 4$ sea un cuadrado perfecto