15 Sea $n$ un número natural. Demuestre que \[ \left\lfloor \frac{n+2^0}{2^1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+2^1}{2^2} \right\rfloor +\cdots +\left\lfloor \frac{n+2^{n-1}}{2^n}\right\rfloor =n. \] Observación: Para cualquier número real $x$, el número $\lfloor x \rfloor$ representa el mayor entero menor o igual a $x$.

35 $(HUN 2)$ Demuestre que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$

11 $(BUL 5)$ Sea $Z$ un conjunto de puntos en el plano. Suponga que existe un par de puntos que no pueden ser unidos por una línea poligonal que no pase por ningún punto de $Z.$ Llamemos a tal par de puntos inunibles. Demuestre que para cada número real $r > 0$ existe un par de puntos inunibles separados por una distancia $r.$

17 Demuestre la desigualdad \[ \frac{a_1+ a_3}{a_1 + a_2} + \frac{a_2 + a_4}{a_2 + a_3} + \frac{a_3 + a_1}{a_3 + a_4} + \frac{a_4 + a_2}{a_4 + a_1} \geq 4, \] donde $a_i > 0, i = 1, 2, 3, 4.$ Amir

29 Un número natural dado $N$ se descompone en una suma de algunos enteros consecutivos. a.) Encuentre todas esas descomposiciones para $N=500.$ b.) ¿Cuántas de tales descomposiciones tiene el número $N=2^{\alpha }3^{\beta }5^{\gamma }$ (donde $\alpha ,$ $\beta $ y $\gamma $ son números naturales)? ¿Cuáles de estas descomposiciones contienen solo sumandos naturales? c.) Determine el número de tales descomposiciones (= descomposiciones en una suma de enteros consecutivos; estos enteros no son necesariamente naturales) para un $N$ natural arbitrario. Nota de Darij: El $0$ no se considera un número natural.

16 Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Sea $P_i$ el poliedro obtenido a partir de $P_1$ mediante una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$. Demuestre que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.

22 Sean $P$ y $P^{\prime }$ dos paralelogramos con igual área, y sean sus longitudes de lado $a,$ $b$ y $a^{\prime },$ $b^{\prime }.$ Suponga que $a^{\prime }\leq a\leq b\leq b^{\prime },$ y además, que es posible colocar el segmento $b^{\prime }$ de tal manera que se encuentre completamente en el interior del paralelogramo $P.$ Demuestre que el paralelogramo $P$ puede ser particionado en cuatro polígonos tales que estos cuatro polígonos puedan ser recompuestos para formar el paralelogramo $P^{\prime }.$

23 Tres caras de un tetraedro son triángulos rectángulos, mientras que la cuarta no es un triángulo obtusángulo. (a) Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la cuarta cara sea un triángulo rectángulo es que en algún vértice haya exactamente dos ángulos rectos. (b) Demuestre que si todas las caras son triángulos rectángulos, entonces el volumen del tetraedro es igual a un sexto del producto de las tres aristas más pequeñas que no pertenecen a la misma cara. Amir

55 Para cada $k=1,2,3,4,5$, encuentre condiciones necesarias y suficientes sobre $a>0$ tales que exista un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y el resto de longitud $1$.

21 Sean $a_0, a_1, \ldots , a_k \ (k \geq 1)$ enteros positivos. Encuentre todos los enteros positivos $y$ tales que \[a_0 | y, (a_0 + a_1) | (y + a_1), \ldots , (a_0 + a_n) | (y + a_n).\] Amir