119 ¿Para qué natural mínimo $a$ el polinomio $ax^2 + bx + c$ con $c$ y $b$ enteros tiene dos raíces positivas distintas, ambas menores que uno?

10 En un triángulo, $AB=BC$ y $M$ es el punto medio de $AC$. Se elige $H$ en $BC$ de tal manera que $MH$ es perpendicular a $BC$. $P$ es el punto medio de $MH$. Demuestre que $AH$ es perpendicular a $BP$.

9 Se da un número con $1998$ dígitos que es divisible por $9$. Sea $x$ la suma de sus dígitos, sea $y$ la suma de los dígitos de $x$, y $z$ la suma de los dígitos de $y$. Encuentre $z$.

11 El triángulo $ABC$ satisface $0\le AB\le 1\le BC\le 2\le CA\le 3$. ¿Cuál es el área máxima que puede tener?

6 Dadas las longitudes $AB$ y $BC$ y el hecho de que las medianas correspondientes a esos dos lados son perpendiculares, construya el triángulo $ABC$.

12 Dados enteros distintos $x, y, z$, demuestre que $(x-y)^5 + (y-z)^5 + (z-x)^5$ es divisible por $5(x-y)(y- z)(z-x)$.

120 Dado un natural $n$. Considere todas las fracciones $1/(pq)$, donde $p$ y $q$ son primos entre sí, $0<p<q\le n$ y $p+q>n$. Demuestre que la suma de todas esas fracciones es igual a $1/2$.

12 Los círculos $k_1$ y $k_2$ se cortan en los puntos $M$ y $N$. La recta $\ell$ corta al círculo $k_1$ en los puntos $A$ y $C$ y al círculo $k_2$ en los puntos $B$ y $D$, de tal manera que los puntos $A, B, C$ y $D$ se encuentran sobre la recta $\ell$ en ese orden. Sea $X$ un punto en la recta $MN$ tal que el punto $M$ está entre los puntos $X$ y $N$. Las rectas $AX$ y $BM$ se cortan en el punto $P$ y las rectas $DX$ y $CM$ se cortan en el punto $Q$. Demuestre que $PQ \parallel \ell$.

7 Encuentre la suma $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$ Amir

8 Encuentre los pares de números reales $(a,b)$ tales que el mayor de los números $x=b^2-\frac{a-1}{2}$ e $y=a^2+\frac{b+1}{2}$ sea menor o igual a $\frac{7}{16}$