La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 30 de abril de 2023, 5:00 AM • 3 Y Y por AlperenINAN, Aliosman, truongphatt2668 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f(x+f(x))=f(-x)$ y para todo $x \leq y$ se satisfaga $f(x) \leq f(y)$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 5:19 PM Y por La nave enemiga ha aterrizado en un tablero de $9\times 9$ que cubre exactamente $5$ casillas del tablero, de esta manera: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/4/ae5aa95f5bb5e113fd5e25931a2bf8eb872dbe.png La nave es invisible. Cada misil defensivo cubre exactamente una casilla y destruye la nave si impacta en una de las $5$ casillas que ocupa. Determine el número mínimo de misiles necesarios para destruir la nave enemiga con certeza. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de dic. de 2022, 2:41 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 27 de ago. de 2015, 10:21 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ para los cuales existen enteros $a$ y $b$ primos entre sí mayores que $1$ tales que $$\frac{a^m+b^m}{a^n+b^n}$$ es un entero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 5:21 p. m. Y por En un baile hay $12$ hombres, numerados del $1$ al $12$, y $12$ mujeres numeradas del $1$ al $12$. A cada hombre se le asigna un "amigo secreto" entre los otros $11$. Todos bailaron todas las piezas. En la primera pieza, cada hombre bailó con la mujer que tiene el mismo número. A partir de entonces, cada hombre bailó la nueva pieza con la mujer que había bailado la pieza anterior con su amigo secreto. En la tercera pieza, las parejas fueron: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/d/f5ea0931e5751739c1ba556f84ab5736f2d11a.png Encuentre el número del amigo secreto de cada hombre. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 5:38 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BarishNamazov 124 publicaciones BarishNamazov #1 h 11 de abr. de 2018, 7:22 a. m. • 7 Y Y por Omeredip, microsoft_office_word, Mathuzb, SCP, ImSh95, Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con $CA=CB$ y $\angle{ACB}=120^\circ$ , y sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sea $P$ un punto variable del circuncírculo de $ABC$ , y sea $Q$ el punto en el segmento $CP$ tal que $QP = 2QC$ . Se da que la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un punto único $N$ . Demuestre que existe un círculo fijo tal que $N$ se encuentra en este círculo para todas las posiciones posibles de $P$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 23 de abr. de 2018, 8:36 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 14 de sep. de 2012, 9:28 a. m. • 3 Y Y por Adventure10 y otros 2 usuarios Sea $ ABCD $ un cuadrilátero convexo sin pares de lados paralelos, tal que $ \angle ABC = \angle CDA $. Suponga que las intersecciones de los pares de bisectrices de ángulos adyacentes de $ ABCD $ forman un cuadrilátero convexo $ EFGH $. Sea $ K $ la intersección de las diagonales de $ EFGH $. Demuestre que las rectas $ AB $ y $ CD $ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ BKD $. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1950 publicaciones Assassino9931 #1 h 9 de mayo de 2025, 3:26 AM Y por Determine el mayor entero $c$ para el cual se cumple la siguiente afirmación: existe al menos una terna $(x,y,z)$ de enteros tal que \begin{align*} x^2 + 4(y + z) = y^2 + 4(z + x) = z^2 + 4(x + y) = c \end{align*} y todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen las ecuaciones son tales que $x,y,z$ son enteros. Marek Maruin, Eslovaquia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Assassino9931, 9 de mayo de 2025, 3:26 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 21 de feb. de 2018, 5:43 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ABC$ con $AB = AC$, sea $M$ el punto medio de $CB$ y sea $D$ un punto en $BC$ tal que $\angle BAD = \frac{\angle BAC}{6}$. La recta perpendicular a $AD$ que pasa por $C$ corta a $AD$ en $N$, donde $DN = DM$. Encuentre los ángulos del triángulo $BAC$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por mathisreal, 21 de feb. de 2018, 5:43 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 21 de feb. de 2018, 5:53 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Gonçalo escribe en una pizarra cuatro de los siguientes números $0, 1, 2, 3, 4$, él puede repetir números. Nicolas puede realizar la siguiente operación: cambiar un número de la pizarra por el resto (en la división por $5$) del producto de otros dos números de la pizarra. Nicolas gana si los cuatro números son iguales, determine si Gonçalo puede elegir números tales que Nicolas nunca gane. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por mathisreal, 21 de feb. de 2018, 5:53 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 7 de julio de 2010, 12:33 PM • 14 Y Y por BuiBaAnh, Davi-8191, a_friendwr_a, megarnie, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, Tastymooncake2, Funcshun840, cubres, MS_asdfgzxcvb y otros 3 usuarios. Dado un triángulo $ABC$, con $I$ como su incentro y $\Gamma$ como su circuncírculo, $AI$ corta a $\Gamma$ nuevamente en $D$. Sea $E$ un punto en el arco $BDC$, y $F$ un punto en el segmento $BC$, tales que $\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC$. Si $G$ es el punto medio de $IF$, demuestre que el punto de intersección de las rectas $EI$ y $DG$ yace sobre $\Gamma$. Propuesto por Tai Wai Ming y Wang Chongli, Hong Kong Z K Y