8 Las variables $a,b,c,d$ recorren, independientemente una de la otra, el conjunto de los valores reales positivos. ¿Cuáles son los valores que toma la expresión \[ S= \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d} \text{?} \]

9 Encuentre todos los números reales $x$ que verifican la ecuación: $$x-3\{x\}-\{3\{x\}\}=0$$ $\{a\}$ representa la parte fraccionaria de $a$

10 Sean $a_1, \ldots, a_n$ $n$ números positivos y $0 < q < 1.$ Determine $n$ números positivos $b_1, \ldots, b_n$ tales que: a.) $ a_{k} < b_{k}$ para todo $k = 1, \ldots, n,$ b.) $q < \frac{b_{k+1}}{b_{k}} < \frac{1}{q}$ para todo $k = 1, \ldots, n-1,$ c.) $\sum \limits^n_{k=1} b_k < \frac{1+q}{1-q} \cdot \sum \limits^n_{k=1} a_k.$

9 Encuentre todas las soluciones reales positivas para: \begin{eqnarray*} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\le& 0 \\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\le& 0 \\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\le& 0 \\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\le & 0 \\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\le& 0 \\ \end{eqnarray*}

12 En un cierto lenguaje, las palabras se forman utilizando un alfabeto de tres letras. Algunas palabras de dos o más letras no están permitidas, y cualesquiera dos de tales palabras distintas tienen longitudes diferentes. Demuestre que se puede formar una palabra de longitud arbitraria que no contenga ninguna palabra no permitida. Amir

6 Dos planos, $P$ y $Q$, se cortan a lo largo de la recta $p$. Se da el punto $A$ en el plano $P$ y el punto $C$ en el plano $Q$; ninguno de estos puntos se encuentra en la recta $p$. Construya un trapecio isósceles $ABCD$ (con $AB \parallel CD$) en el cual se pueda inscribir un círculo, y con los vértices $B$ y $D$ situados en los planos $P$ y $Q$ respectivamente.

10 Encuentre todos los pares de números primos $(p, q)$ para los cuales los números $p+q$ y $p+4q$ son simultáneamente cuadrados perfectos.

7 Se da un trapecio isósceles con bases $a$ y $c$ y altura $h$. a) En el eje de simetría de este trapecio, encuentre todos los puntos $P$ tales que ambos lados no paralelos del trapecio subtiendan ángulos rectos en $P$; b) Calcule la distancia de $P$ a cualquiera de las bases; c) Determine bajo qué condiciones tales puntos $P$ existen realmente. Discuta los diversos casos que podrían surgir.

1 Determine todos los números de tres dígitos $N$ que tienen la propiedad de que $N$ es divisible por 11, y $\dfrac{N}{11}$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

6 Considere un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Un cilindro está circunscrito alrededor de esta esfera de tal manera que una de sus bases se encuentra en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro. a) Demuestre que $V_1 \neq V_2$; b) Encuentre el número más pequeño $k$ para el cual $V_1=kV_2$; para este caso, construya el ángulo subtendido por un diámetro de la base del cono en el vértice del cono.