16 Dados $a, \theta \in \mathbb R, m \in \mathbb N$ y $P(x) = x^{2m}- 2|a|^mx^m \cos \theta +a^{2m}$, factorice $P(x)$ como un producto de $m$ polinomios cuadráticos reales. Amir

33 $(GDR 5)$ Dado un anillo $G$ en el plano delimitado por dos círculos concéntricos con radios $R$ y $\frac{R}{2}$, demuestre que podemos cubrir esta región con $8$ discos de radio $\frac{2R}{5}$. (Una región está cubierta si cada uno de sus puntos se encuentra dentro o en el borde de algún disco).

13 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad \[\binom n2 \sum_{i<j} \frac{1}{a_ia_j} \geq 4 \left( \sum_{i<j} \frac{1}{a_i+a_j} \right)^2\] Amir

10 Sea $ABC$ un triángulo. Demuestre que existe un punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$, tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$, si y solo si el triángulo $ABC$ satisface la desigualdad $\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}$. Comentario: Formulación alternativa, de la IMO ShortList 1974, Finlandia 2: Consideramos un triángulo $ABC$. Demuestre que: $\sin(A) \sin(B) \leq \sin^2 \left( \frac{C}{2} \right)$ es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto $D$ en el segmento $AB$ tal que $CD$ sea la media geométrica de $AD$ y $BD$.

11 Determine el valor mínimo de $a^{2} + b^{2}$ cuando $(a,b)$ recorre todos los pares de números reales para los cuales la ecuación \[ x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 = 0 \] tiene al menos una raíz real.

14 ¿Cuál es el número máximo de regiones en las que se puede dividir un círculo mediante segmentos que unen $n$ puntos en la frontera del círculo? Creo que ya se publicó en el tablero...

9 Encuentre todos los números reales $x$ que verifican la ecuación: $$x-3\{x\}-\{3\{x\}\}=0$$ $\{a\}$ representa la parte fraccionaria de $a$

7 Sean $a_i, b_i$ enteros positivos coprimos para $i = 1, 2, \ldots , k$, y $m$ el mínimo común múltiplo de $b_1, \ldots , b_k$. Demuestre que el máximo común divisor de $a_1 \frac{m}{b_1} , \ldots, a_k \frac{m}{b_k}$ es igual al máximo común divisor de $a_1, \ldots , a_k.$ Amir

13 Encuentre la esfera de radio máximo que puede colocarse dentro de todo tetraedro que tiene todas sus alturas de longitud mayor o igual a $1.$ Amir

25 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestre que el mayor número que no se puede expresar de la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el mayor número que no se puede expresar de la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentre $N(k).$