13 Encuentre la esfera de radio máximo que puede colocarse dentro de todo tetraedro que tiene todas sus alturas de longitud mayor o igual a $1.$ Amir

47 $C$ es un punto en el semicírculo de diámetro $AB$, entre $A$ y $B$. $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $AB$. El círculo $K_1$ es el incírculo de $ABC$, el círculo $K_2$ es tangente a $CD, DA$ y al semicírculo, el círculo $K_3$ es tangente a $CD, DB$ y al semicírculo. Demuestre que $K_1, K_2$ y $K_3$ tienen otra tangente común además de $AB$.

19 Se nos da un punto fijo en el círculo de radio $1$, y al avanzar desde este punto a lo largo de la circunferencia en dirección positiva a distancias curvas $0, 1, 2, \ldots$ desde él, obtenemos puntos con abscisas $n = 0, 1, 2, \ldots$ respectivamente. ¿Cuántos puntos entre ellos debemos tomar para asegurar que al menos dos de ellos se encuentren a una distancia menor que $\frac 15$? Amir

10 Sea $ABC$ un triángulo. Demuestre que existe un punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$, tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$, si y solo si el triángulo $ABC$ satisface la desigualdad $\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}$. Comentario: Formulación alternativa, de la IMO ShortList 1974, Finlandia 2: Consideramos un triángulo $ABC$. Demuestre que: $\sin(A) \sin(B) \leq \sin^2 \left( \frac{C}{2} \right)$ es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto $D$ en el segmento $AB$ tal que $CD$ sea la media geométrica de $AD$ y $BD$.

12 Encuentre todos los números $n \in \mathbb{N}^*$ para los cuales existe un conjunto finito de números naturales $A=(a_1, a_2,...a_n)$ tal que para todo $k$ $(1\leq k \leq n)$, el número $a_k$ es la cantidad de múltiplos de $k$ en el conjunto $A$.

7 Sean $a_i, b_i$ enteros positivos coprimos para $i = 1, 2, \ldots , k$, y $m$ el mínimo común múltiplo de $b_1, \ldots , b_k$. Demuestre que el máximo común divisor de $a_1 \frac{m}{b_1} , \ldots, a_k \frac{m}{b_k}$ es igual al máximo común divisor de $a_1, \ldots , a_k.$ Amir

13 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad \[\binom n2 \sum_{i<j} \frac{1}{a_ia_j} \geq 4 \left( \sum_{i<j} \frac{1}{a_i+a_j} \right)^2\] Amir

15 $(CZS 4)$ Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestre que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$, donde $K = K_1 + \cdots + K_n$

14 ¿Cuál es el número máximo de regiones en las que se puede dividir un círculo mediante segmentos que unen $n$ puntos en la frontera del círculo? Creo que ya se publicó en el tablero...

9 Encuentre todos los números reales $x$ que verifican la ecuación: $$x-3\{x\}-\{3\{x\}\}=0$$ $\{a\}$ representa la parte fraccionaria de $a$