28 En el plano, considere un círculo con centro $S$ y radio $1.$ Sea $ABC$ un triángulo arbitrario que tiene a este círculo como su incírculo, y suponga que $SA\leq SB\leq SC.$ Encuentre el lugar geométrico de: a.) todos los vértices $A$ de tales triángulos; b.) todos los vértices $B$ de tales triángulos; c.) todos los vértices $C$ de tales triángulos.

29 Un número natural dado $N$ se descompone en una suma de algunos enteros consecutivos. a.) Encuentre todas esas descomposiciones para $N=500.$ b.) ¿Cuántas de tales descomposiciones tiene el número $N=2^{\alpha }3^{\beta }5^{\gamma }$ (donde $\alpha ,$ $\beta $ y $\gamma $ son números naturales)? ¿Cuáles de estas descomposiciones contienen solo sumandos naturales? c.) Determine el número de tales descomposiciones (= descomposiciones en una suma de enteros consecutivos; estos enteros no son necesariamente naturales) para un $N$ natural arbitrario. Nota de Darij: El $0$ no se considera un número natural.

7 Dados cuatro planos paralelos distintos, demuestre que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano.

21 Demuestre que el volumen $V$ y el área lateral $S$ de un cono circular recto satisfacen la desigualdad \[\left( \frac{6V}{\pi}\right)^2 \leq \left( \frac{2S}{\pi \sqrt 3}\right)^3\] ¿Cuándo ocurre la igualdad? Amir

15 $(CZS 4)$ Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestre que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$, donde $K = K_1 + \cdots + K_n$

10 Dado $n>4$, demuestre que todo cuadrilátero cíclico puede ser disecado en $n$ cuadriláteros cíclicos.

30 $(GDR 2)^{IMO1}$ Demuestre que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n.$

9 Encuentre $x$ tal que la expresión trigonométrica \[\frac{\sin 3x \cos (60^\circ -4x)+1}{\sin(60^\circ - 7x) - \cos(30^\circ + x) + m}=0\] donde $m$ es un número real fijo. Amir

11 Considere una sucesión de círculos $K_1,K_2,K_3,K_4, \ldots$ de radios $r_1, r_2, r_3, r_4, \ldots$ , respectivamente, situados dentro de un triángulo $ABC$. El círculo $K_1$ es tangente a $AB$ y $AC$; $K_2$ es tangente a $K_1$, $BA$ y $BC$; $K_3$ es tangente a $K_2$, $CA$ y $CB$; $K_4$ es tangente a $K_3$, $AB$ y $AC$; etc. (a) Demuestre la relación \[r_1 \cot \frac 12 A+ 2 \sqrt{r_1r_2} + r_2 \cot \frac 12 B = r \left(\cot \frac 12 A + \cot \frac 12 B \right) \] donde $r$ es el radio del incírculo del triángulo $ABC$. Deduzca la existencia de un $t_1$ tal que \[r_1=r \cot \frac 12 B \cot \frac 12 C \sin^2 t_1\] (b) Demuestre que la sucesión de círculos $K_1,K_2, \ldots $ es periódica. Amir

16 Dados $a, \theta \in \mathbb R, m \in \mathbb N$ y $P(x) = x^{2m}- 2|a|^mx^m \cos \theta +a^{2m}$, factorice $P(x)$ como un producto de $m$ polinomios cuadráticos reales. Amir