La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 10 de oct. de 2017, 11:29 a. m. • 3 Y Y por mhq, Adventure10, Mango247 Sea $\Gamma$ un círculo de centro $O$, y $\delta$ una recta en el plano de $\Gamma$, que no lo interseca. Denotemos por $A$ el pie de la perpendicular desde $O$ a $\delta$, y sea $M$ un punto (variable) en $\Gamma$. Denotemos por $\gamma$ el círculo de diámetro $AM$, por $X$ el punto de intersección (distinto de $M$) de $\gamma$ y $\Gamma$, y por $Y$ el punto de intersección (distinto de $A$) de $\gamma$ y $\delta$. Demuestre que la recta $XY$ pasa por un punto fijo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 4:45 a. m. • 3 Y Y por Math-Ninja, Adventure10, Mango247 Demuestre: (a) Existen infinitas ternas de enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2 - 1.$ (b) No existen enteros positivos $m, n, p$ tales que $4mn - m- n = p^2.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 12 de oct. de 2010, 12:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un triángulo $ABC$, se construyen tres triángulos equiláteros $AEB, BFC$ y $CGA$ en el exterior de $ABC$. Demuestre que: $(a) CE = AF = BG$; $(b) CE, AF$ y $BG$ tienen un punto en común. No pude encontrar un tema separado para esta pregunta y necesito uno. http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point por supuesto. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Wolowizard 617 publicaciones Wolowizard #1 h 7 de sep. de 2016, 4:13 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $r(x)$ un polinomio de grado impar con coeficientes reales. Demuestre que existen solo un número finito (o ninguno) de pares de polinomios $p(x)$ y $q(x)$ con coeficientes reales que satisfacen la ecuación $(p(x))^3 + q(x^2) = r(x)$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 10 de mayo de 2018, 5:11 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Orestis_Lignos 560 publicaciones Orestis_Lignos #1 h 28 de junio de 2024, 12:24 a. m. • 4 Y Y por Rounak_iitr, lian_the_noob12, ehuseyinyigit, farhad.fritl Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita. La recta tangente a $\omega$ en $A$ corta a la recta $BC$ en $D$ y sea $E$ un punto en $\omega$ tal que $BE$ es paralela a $AD$. $DE$ corta al segmento $AB$ y a $\omega$ en $F$ y $G$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $BGF$ corta a $BE$ en $N$. La recta $NF$ corta a las rectas $AD$ y $EA$ en $S$ y $T$, respectivamente. Demuestre que $DGST$ es cíclico. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheLastHatter 16 publicaciones TheLastHatter #1 h 7 de dic. de 2025, 9:49 a. m. • 1 Y Y por LHE96 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno donde $BC$ es el lado más pequeño. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, satisfaciendo $AD = DC$ y $AE = EB$. Sean $B'$ y $C'$ las reflexiones de $B$ y $C$ con respecto a $DE$. Las rectas $AB'$ y $AC'$ cortan la recta $BC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADF$ y $AEG$ son tangentes.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 10 de oct. de 2010, 11:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un polígono convexo regular $P$ de $2m$ lados, demuestre que existe un polígono $\pi$ de $2m$ lados con los mismos vértices que $P$ (pero en un orden diferente) tal que $\pi$ tiene exactamente un par de lados paralelos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 28 de junio de 2024, 9:31 a. m. • 3 Y Y por ehuseyinyigit, Sedro, Parsia-- Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}$ tales que \[2x^3zf(z)+yf(y) \ge 3yz^2f(x)\] para todo $x,y,z \in \mathbb{R}_{\ge 0}$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. eduD_looC 6616 publicaciones eduD_looC #1 h 10 de mar. de 2023, 7:36 p. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $f(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros tal que $f(1) \neq 1$. Para un entero positivo $n$, defina $\text{divs}(n)$ como el conjunto de divisores positivos de $n$. Un entero positivo $m$ es $f$-cool si existe un entero positivo $n$ para el cual $$f[\text{divs}(m)]=\text{divs}(n).$$ Demuestre que para cualquier $f$ de este tipo, existen una cantidad finita de enteros $f$-cool. (La notación $f[S]$ para un conjunto $S$ denota el conjunto $\{f(s):s \in S\}$.) Z K Y

En la siguiente suma: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$, si eliminamos los dos primeros signos “+”, obtenemos la nueva suma $123 + 4 + 5 + 6 = 138$. Al eliminar tres signos “+”, podemos obtener $1 + 23 + 456 = 480$. Consideremos ahora la suma $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13$, en la cual se deben eliminar algunos signos “+”. ¿Cuáles son los tres múltiplos de $100$ más pequeños que podemos obtener de esta manera?