En un tablero de $2000\times 2001$ las casillas tienen coordenadas $(x,y)$ con $0\leq x\leq 1999$, $0\leq y\leq 2000$ enteros. Una nave en el tablero se mueve de la siguiente manera: antes de cada movimiento, la nave está en una posición $(x,y)$ y tiene una velocidad $(h,v)$ donde $h$ y $v$ son enteros. La nave escoge una nueva velocidad $(h',v')$ de forma que $h'-h=-1,0,1$ y $v'-v=-1,0,1$. La nueva posición de la nave será $(x',y')$ donde $x'$ es el resto de dividir $x+h'$ entre $2002$ y $y'$ es el resto de dividir $y+v'$ entre $2001$. Hay dos naves en el tablero: la marciana y la terrestre que quiere atrapar a la marciana. Inicialmente cada nave está en una casilla del tablero y tiene velocidad $(0,0)$. Primero se mueve la nave terrestre y continúan moviéndose alternadamente. ¿Existe una estrategia que siempre le permita a la nave terrestre atrapar a la nave marciana, cualesquiera que sean las posiciones iniciales? Nota: la nave terrestre, que siempre ve a la marciana, atrapa a la marciana si después de un movimiento suyo cae en la misma posición de la marciana.

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1<a_2<\cdots<a_n$ de $n\geq 3$ números reales.

Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices de $1$ a $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demuestra que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del $1$ al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: 1. El número asignado a cada lado o diagonal sea distinto a los asignados a los vértices que une. 2. Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice tengan números diferentes.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación $$(x+1)^y-x^z=1$$ para $x,y,z$ enteros mayores que $1$.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$ y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demuestra que $M$, $D$ y $C$ están alineados.

De una progresión aritmética infinita $1,a_1,a_2,\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita $1,b_1,b_2,\ldots,$ de razón $q$. Encuentra los posibles valores de $q$.

Hay un montón de $2000$ piedras. Dos jugadores se turnan para retirar piedras, alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas: 1. En cada jugada se pueden retirar $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$ piedras del montón. 2. En cada jugada se prohibe que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa. Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida. Determina cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud $1$, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono. 1. Dado cualquier número $k$, mayor que $0$ y menor o igual que $1$, encuentra un hexágono bonito de área $k$. 2. Demuestra que el área de cualquier hexágono bonito es menor que $\frac{3}{2}$.

Sea $n\geq 100$ un entero. Iván escribe cada uno de los números $n, n+1, \ldots, 2n$ en un naipe diferente. Después de barajar estos $n+1$ naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n>2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego. Cada equipo, en su turno, coloca una de sus banderas en un punto de la circunferencia que no se haya usado en una jugada anterior. Cada bandera, una vez colocada, no se puede cambiar de lugar. Una vez colocadas las $2n$ banderas se reparte el territorio entre los dos equipos. Un punto del territorio es del equipo $A$ si la bandera más próxima a él es azul, y es del equipo $B$ si la bandera más próxima a él es blanca. Si la bandera azul más próxima a un punto está a la misma distancia que la bandera blanca más próxima a ese punto, entonces el punto es neutro (no es de $A$ ni de $B$). Un equipo gana el juego si sus puntos cubren un área mayor que el área cubierta por los puntos del otro equipo. Hay empate si ambos cubren áreas iguales. Demostrar que, para todo $n$, el equipo $B$ tiene estrategia para ganar el juego.