Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$, $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demuestra que $AK$ corta al segmento $X_2X_3$ en su punto medio.

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones: a. los lados opuestos de $H$ son paralelos; b. tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho $1$. Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$. Nota: Una franja de ancho es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia (incluidas ambas rectas paralelas).

Sea $ABC$ un triángulo escaleno y $r$ la bisectriz externa del ángulo $\angle ABC$. Se consideran $P$ y $Q$, los pies de las perpendiculares a la recta $r$ que pasan por $A$ y $C$ respectivamente. Las rectas $CP$ y $AB$ se intersecan en $M$ y las rectas $AQ$ y $BC$ se intersecan en $N$. Demuestra que las rectas $AC$, $MN$ y $r$ tienen un punto en común.

En un tablero cuadriculado de $19\times 19$, una ficha llamada dragón da saltos de la siguiente forma: se desplaza $4$ casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y $1$ casilla en dirección perpendicular a la anterior. Se sabe que, con este tipo de saltos, el dragón puede moverse de cualquier casilla a cualquier otra. La distancia dragoniana entre dos casillas es el menor número de saltos que el dragón debe dar para moverse de una casilla a otra. Sea $C$ una casilla situada en una esquina del tablero y sea $V$ la casilla vecina a $C$ que le toca en un único punto. Demuestra que existe alguna casilla $X$ del tablero tal que la distancia dragoniana de $C$ a $X$ es mayor que la distancia dragoniana de $C$ a $V$.

Un número natural $n$ es atrevido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al $1$ y al $n$, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atrevido?

En el triángulo escaleno $ABC$, con $\angle BAC=90^\circ$, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita corta a la recta $BC$ en $M$. Sean $S$ y $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $RS$ corta a la recta $BC$ en $N$. Las rectas $AM$ y $SR$ se cortan en $U$. Demuestre que el triángulo $UMN$ es isósceles.

Los números $1,2,\ldots, n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$, en algún orden, un número por casilla. Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número $1$, y para ello toma uno de los caminos más cortos (con menos pasos) entre la casilla con el número $n^2$ y la casilla con el número $1$. Desde la casilla con el número $1$ viaja a la casilla con el número $2$, desde allí a la casilla con el número $3$, y así sucesivamente, hasta que regresa a la casilla inicial, tomando en cada uno de los viajes el camino más corto. El recorrido completo le toma a la ficha $N$ pasos. Determine el menor y mayor valor posible de $N$.

Determine todas las ternas de números reales $(x,y,z)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $$xyz=8$$ $$x^2y+y^2z+z^2x=73$$ $$x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=98.$$

Se consideran $n$ números reales $a_1,a_2,\ldots, a_n$ no necesariamente distintos. Sea $d$ la diferencia entre el mayor y el menor de ellos y sea:\n$$s=\sum_{i<j} |a_i-a_j|$$ \nDemuestra que:\n$$(n-1)d\leq s\leq \frac{n^2d}{4}$$\ny determine las condiciones que deben cumplir estos $n$ números para que se verifique cada una de las igualdades.

Dada una circunferencia $\Gamma$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $\Gamma$, con $AD$ tangente a $\Gamma$ en $P$ y $CD$ tangente a $\Gamma$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $\Gamma$, y $M$ el punto medio de $XY$. Demuestra que $\angle AMP=\angle CMQ$.