La sucesión $a_n$ está definida por $a_1=1$, $a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$. Demuestra que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esta sucesión.

Sean $m$ y $n$ enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ e $y$ son enteros y $107$ divide a $P(x)-P(y)$, entonces $107$ divide a $x-y$. Demuestra que $107$ divide a $m$.

Para cada entero positivo $n$ se define $a_n=n+m$ donde $m$ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$ con el mismo radio, que se cortan en $A$ y $B$. Sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C$, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D$ y la bisectriz de $\angle CAD$ interseca a $C_1$ en $E$ y a $C_2$ en $L$. Sea $F$ el punto simétrico a $D$ con respecto al punto medio de $PE$. Demuestra que existe un punto $X$ que satisface $\angle XFL=\angle XCD=30^\circ$ y $CX=O_1O_2$.

En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro personas cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. ¿Para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características?

Alrededor de una circunferencia se marcan $6000$ puntos y cada uno se colorea con uno de $10$ colores dados, de manera tal que entre cualesquiera $100$ puntos consecutivos siempre figuran los $10$ colores. Hallar el menor valor $k$ con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k$ puntos consecutivos entre los cuales figuran los $10$ colores.

La circunferencia $\Gamma$ inscrita al triángulo escaleno $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta $EF$ corta a la recta $BC$ en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ en $R$ ($R\neq D$). Sean $P$ y $Q$ ($P\neq R$, $Q\neq R$) las intersecciones de $BR$ y $CR$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$. La circunferencia circunscrita a $CDE$ corta al segmento $QR$ en $M$ y la circunferencia circunscrita a $BDF$ corta al segmento $PR$ en $N$. Demuestra que las rectas $PM$, $QN$ y $RX$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo, y $X$, $Y$, $Z$ puntos sobre los lados $BC$, $AC$, $AB$ respectivamente. Sean $A'$, $B'$, $C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY$, $BXZ$, $CYX$. Demuestra que $$(A'B'C')\geq \frac{(ABC)}{4}$$ y que la igualdad se cumple si y sólo si las rectas $AA'$, $BB'$, $CC'$ tienen un punto en común. Nota: para un triángulo $RST$, denotamos su área por $(RST)$.

Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,\ldots x_n$ números reales positivos. Demuestra que existen $a_1,a_2,\ldots, a_n\in \{-1,1\}$ tales que\n$$a_1 x_1^2 + \cdots + a_n x_n^2 \geq (a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n)^2.$$

Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$, $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demuestra que $AK$ corta al segmento $X_2X_3$ en su punto medio.