67 Dados los números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ que satisfacen $x_1>0,x_2>0,x_1y_1>z_1^2$ y $x_2y_2>z_2^2$, demuestre que: \[ {8\over(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le{1\over x_1y_1-z_1^2}+{1\over x_2y_2-z_2^2}. \] Determine las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad.

3 Sean $a,b,c$ números reales. Considere la ecuación cuadrática en $\cos{x}$ \[ a \cos^2{x}+b \cos{x}+c=0. \] Utilizando los números $a,b,c$, forme una ecuación cuadrática en $\cos{2x}$ cuyas raíces sean las mismas que las de la ecuación original. Compare la ecuación en $\cos{x}$ y $\cos{2x}$ para $a=4$, $b=2$, $c=-1$.

64 $(USS 1)$ Demuestre que para un número natural $n > 2, (n!)! > n[(n - 1)!]^{n!}.$

11 Sean $P,Q,R$ polinomios y sea $S(x) = P(x^3) + xQ(x^3) + x^2R(x^3)$ un polinomio de grado $n$ cuyas raíces $x_1,\ldots, x_n$ son distintas. Construya, con la ayuda de los polinomios $P,Q,R$, un polinomio $T$ de grado $n$ que tenga como raíces $x_1^3 , x_2^3 , \ldots, x_n^3.$ Amir

63 $(SWE 6)$ Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no pueden expresarse como la suma de los cuadrados de tres enteros positivos.

68 $(USS 5)$ Dados $5$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales, demuestre que podemos elegir $4$ puntos entre ellos que formen un cuadrilátero convexo.

26 Sea $f$ una función de valores reales definida para todos los números reales, tal que para algún $a>0$ tenemos \[ f(x+a)={1\over2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2} \] para todo $x$. Demuestre que $f$ es periódica y dé un ejemplo de una función $f$ no constante de este tipo para $a=1$.

8 Sea $M$ cualquier punto en el lado $AB$ del triángulo $ABC$. Sean $r, r_1, r_2$ los radios de los círculos inscritos en $ABC, AMC, BMC$, respectivamente. Sea $q$ el radio del círculo en el lado opuesto de $AB$ respecto a $C$, que es tangente a los tres lados de $AB$ y a las extensiones de $CA$ y $CB$. De manera similar, sean $q_1$ y $q_2$. Demuestre que $r_1r_2q=rq_1q_2$.

56 Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen un mismo número $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestre que si $m >\frac{n}{2},$ entonces $a^{\frac{1}{n}} -b^{\frac{1}{n}} <\frac{1}{n}$

48 $(NET 3)$ Sean $x_1, x_2, x_3, x_4$ y $x_5$ enteros positivos que satisfacen \[x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 = 1000,\] \[x_1 -x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\] \[x_1 +x_2 -x_3 +x_4 -x_5 > 0,\] \[-x_1 +x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\] \[x_1 -x_2 +x_3 +x_4 -x_5 > 0,\] \[-x_1 +x_2 -x_3 +x_4 +x_5 > 0\] $(a)$ Encuentre el máximo de $(x_1 + x_3)^{x_2+x_4}$ $(b)$ ¿De cuántas maneras diferentes podemos elegir $x_1, . . . , x_5$ para obtener el máximo deseado?