12 $(CZS 1)$ Dado un cubo unitario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran en las aristas del cubo.

11 $(BUL 5)$ Sea $Z$ un conjunto de puntos en el plano. Suponga que existe un par de puntos que no pueden ser unidos por una línea poligonal que no pase por ningún punto de $Z.$ Llamemos a tal par de puntos inunibles. Demuestre que para cada número real $r > 0$ existe un par de puntos inunibles separados por una distancia $r.$

7 Demuestre que el producto de los radios de los tres círculos exinscritos a un triángulo dado no excede $A=\frac{3\sqrt 3}{8}$ veces el producto de las longitudes de los lados del triángulo. ¿Cuándo se cumple la igualdad? Amir

58 $(SWE 1)$ Se dan seis puntos $P_1, . . . , P_6$ en el espacio tridimensional tales que no hay cuatro de ellos que se encuentren en el mismo plano. Cada uno de los segmentos de recta $P_jP_k$ está coloreado de negro o blanco. Demuestre que existe un triángulo $P_jP_kP_l$ cuyos lados son del mismo color.

7 ¿Para qué disposiciones de dos cilindros circulares infinitos su intersección se encuentra en un plano? Amir

26 Sea $f$ una función de valores reales definida para todos los números reales, tal que para algún $a>0$ tenemos \[ f(x+a)={1\over2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2} \] para todo $x$. Demuestre que $f$ es periódica y dé un ejemplo de una función $f$ no constante de este tipo para $a=1$.

9 Encuentre $x$ tal que la expresión trigonométrica \[\frac{\sin 3x \cos (60^\circ -4x)+1}{\sin(60^\circ - 7x) - \cos(30^\circ + x) + m}=0\] donde $m$ es un número real fijo. Amir

10 ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación $x = 1964 \sin x - 189$? Amir

12 Encuentre los dígitos $x, y, z$ tales que la igualdad \[\sqrt{\underbrace{\overline{xx\cdots x}}_{2n \text{ veces}}-\underbrace{\overline{yy\cdots y}}_{n \text{ veces}}}=\underbrace{\overline{zz\cdots z}}_{n \text{ veces}}\] se cumpla para al menos dos valores de $n \in \mathbb N$, y en ese caso encuentre todos los $n$ para los cuales esta igualdad es verdadera. Amir

15 $(CZS 4)$ Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestre que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$, donde $K = K_1 + \cdots + K_n$