71 $(YUG 3)$ Sean cuatro puntos $A_i (i = 1, 2, 3, 4)$ en el plano que determinan cuatro triángulos. En cada uno de estos triángulos elegimos el ángulo más pequeño. La suma de estos ángulos se denota por $S.$ ¿Cuál es la ubicación exacta de los puntos $A_i$ si $S = 180^{\circ}$ ?

4 Construya un triángulo rectángulo con hipotenusa dada $c$ tal que la mediana trazada a la hipotenusa sea la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

34 $(HUN 1)$ Sean $a$ y $b$ enteros arbitrarios. Demuestre que si $k$ es un entero no divisible por $3$, entonces $(a + b)^{2k}+ a^{2k} +b^{2k}$ es divisible por $a^2 +ab+ b^2$

67 Dados los números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ que satisfacen $x_1>0,x_2>0,x_1y_1>z_1^2$ y $x_2y_2>z_2^2$, demuestre que: \[ {8\over(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le{1\over x_1y_1-z_1^2}+{1\over x_2y_2-z_2^2}. \] Determine las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad.

14 ¿Cuál es el número máximo de regiones en las que se puede dividir un círculo mediante segmentos que unen $n$ puntos en la frontera del círculo? Creo que ya se publicó en el tablero...

8 Dada una recta orientada $\Delta$ y un punto fijo $A$ sobre ella, considere todos los trapecios $ABCD$ cuya base $AB$ se encuentra sobre $\Delta$, en la dirección positiva. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. Encuentre los lugares geométricos de los vértices $B, C, D$ de los trapecios que satisfacen lo siguiente: (i) $|AB| \leq a$ ($a$ fijo); (ii) $|EF| = l$ ($l$ fijo); (iii) la suma de los cuadrados de los lados no paralelos del trapecio es constante. Observación. Las constantes se eligen de tal manera que dichos trapecios existan. Amir

13 Dados dos triángulos congruentes $A_1A_2A_3$ y $B_1B_2B_3$ ($A_iA_k = B_iB_k$), demuestre que existe un plano tal que las proyecciones ortogonales de estos triángulos sobre él son congruentes y están igualmente orientadas. Amir

61 $(SWE 4)$ Sean $a_0, a_1, a_2, \cdots$ determinados por $a_0 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2^n$. Demuestre que si $n$ es una potencia de $2$, entonces $a_n$ también lo es.

58 $(SWE 1)$ Se dan seis puntos $P_1, . . . , P_6$ en el espacio tridimensional tales que no hay cuatro de ellos que se encuentren en el mismo plano. Cada uno de los segmentos de recta $P_jP_k$ está coloreado de negro o blanco. Demuestre que existe un triángulo $P_jP_kP_l$ cuyos lados son del mismo color.

55 Para cada $k=1,2,3,4,5$, encuentre condiciones necesarias y suficientes sobre $a>0$ tales que exista un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y el resto de longitud $1$.