Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. La circunferencia que pasa por $B$, $H$ y $C$ corta a la mediana $AM$ en $N$. Muestra que $\angle ANH=90^\circ$.

Un rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros, para ello, acomoda a los caballeros en una mesa redonda y hace que digan los números $1,2,3$ y repitan de nuevo $1,2,3$ y así sucesivamente (lo dicen en el sentido de las manecillas del reloj y cada persona dice un número). Las personas que dicen $2$ ó $3$ son retiradas inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un sólo caballero, el ganador. Se numeran las personas del $1$ al $n$ conforme al primer turno. Encuentra todos los valores de $n$ de tal manera que el ganador sea el caballero $2008$.

*Tome libertad de reescribir. Sea $\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\}$ y $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ una funcion de los naturales a naturales. $f$ cumple que $f(p)=1$ para todo primo $p$ y que $f(ab)=af(b)+bf(a)$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $f(n)=n$

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ con circuncírculo $\Omega$. Sean $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Las rectas $AH$, $BH$ y $CH$ cortan por segunda vez a $\Omega$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente; y la recta $MH$ corta a $\Omega$ en $J$ de manera que $H$ queda entre $M$ y $J$. Sean $K$ y $L$ los incentros de los triángulos $DEJ$ y $DFJ$, respectivamente. Muestra que $KL$ es paralela a $BC$.

Sean $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ los divisores del entero positivo $n$. Encuentra todos los números $n$ tales que $n=d_2^2+d_3^3$.

Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n,m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\geq (n-m)^2$.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la altura sobre el lado $BC$. Tomando a $D$ como centro y a $AD$ como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta $AB$ en $P$ , y corta a la recta $AC$ en $Q$. Muestra que el triángulo $AQP$ es semejante al triángulo $ABC$.

Las bisectrices internas de los ángulos $A,B$ y $C$ de un triángulo $ABC$ concurren en $I$ y cortan al circuncírculo de $ABC$ en $L,M,N$, respectivamente. La circunferencia de diámetro $IL$ corta al lado $BC$, en $D$ y $E$; la circunferencia de diámetro $IM$ corta al lado $CA$ en $F$ y $G$; la circunferencia de diámetro $IN$ corta al lado $AB$ en $H$ y $J$. Muestra que $D,E,F,G,H,J$ están sobre una misma circunferencia.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, respectivamente, tales que que $CP$ es tangente a $\mathcal{C}_1$, $CQ$ es tangente a $\mathcal{C}_2$, $P$ no está dentro de $\mathcal{C}_2$ y $Q$ no está dentro de $mathcal{C}_1$. La recta $PQ$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $R$ y a $\mathcal{C}_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$. Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $\mathcal{C}_1$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$. Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.

Sea $A_1A_2\cdots A_8$ un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores que $180^\circ$. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada $i=1,\cdots,8$, definamos el punto $B_i$ como la intersección del segmento $A_iA_{i+4}$ con el segmento $A_{i-1}A_{i+1}$, donde $A_{j+8}=A_j$ y $B_{j+8}=B_j$, para todo número entero $j$. Muestra que para algún número $i$, de entre los números $1,2,3$ y $4$, se cumple que $$\frac{A_iA_{i+4}}{B_iB_{i+4}}\leq \frac{3}{2}$$