Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre los números del $1$ al $9$. Nota: un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $1121211222$.

Un cubo de $n\times n\times n$ está construido con cubitos de $1\times 1\times 1$, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n\times 1\times 1$, de $1\times n \times 1$ y de $1\times 1\times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente $0$) de cubitos blancos intermedios. Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de $n\times 1\times 1$, de $1\times n\times 1$ y de $1\times 1\times n$ haya exactamente un cubito negro.

En los vértices de un cubo están escritos $8$ enteros positivos distintos y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los $2$ vértices que forman a la arista. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices. Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$ . ¿Es posible que $A=V$ ?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con vértices sobre una circunferencia $\Gamma$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de la recta $\ell$ y del segmento $AC$ con la circunferencia de centro $B$ y radio $BA$, respectivamente. Muestra que $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números enteros $\{1,2,\cdots, 2013\}$, de tal manera que entre ellos no haya tres distintos, digamos $a$, $b$, $c$, tales que $a$ sea divisor o múltiplo de $b-c$?

Algunas ranas, unas de ellas rojas y otras verdes, se van a mover en un tablero de $11\times 11$, de acuerdo a las siguientes reglas. Si una rana está ubicada, digamos, en la casilla marcada con $\#$ en la siguiente figura, entonces si es roja, puede saltar a cualquiera de las casillas marcadas con $\times$. Si es verde, puede saltar a cualquiera de las casillas marcadas con $\circ$. Diremos que dos ranas (de cualquier color) se pueden encontrar en una casilla si ambas pueden llegar hasta ella saltando una o más veces, no necesariamente con el mismo número de saltos. (a) Muestra que si ponemos $6$ ranas (de cualquier color), entonces hay al menos $2$ que se pueden encontrar. (b) ¿Para qué valores de $k$ es posible poner una rana roja y una rana verde de manera que haya exactamente $k$ casillas en las que estas ranas se pueden encontrar?

Considera una circunferencia $\Gamma$, un punto $A$ fuera de $\Gamma$ y las tangentes $AB$, $AC$ a $\Gamma$ desde $A$, con $B$ y $C$ los puntos de tangencia. Sea $P$ un punto sobre el segmento $AB$, distinto de $A$ y de $B$. Considera el punto $Q$ sobre el segmento $AC$ tal que $PQ$ es tangente a $\Gamma$, y a los puntos $R$ y $S$ que están sobre las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente, de manera que $RS$ es paralela a $PQ$ y tangente a $\Gamma$. Muestra que el producto de las áreas de los triángulos $APQ$ y $ARS$ no depende de la elección del punto $P$.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra todas las solucions $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ de numeros reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones: $$a_1^2 + a_1 - 1 = a_2$$ $$a_2^2 + a_2 - 1 = a_3$$ $$\vdots$$ $$a_n^2 + a_n - 1 = a_1$$

Encuentra todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ tales que $$abc=a+b+c+1$$

Considera un triángulo $ABC$ y un punto $M$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ la intersección de las perpendiculares a $AB$ por $M$ y a $BC$ por $B$, y sea $Q$ la intersección de las perpendiculares a $AC$ por $M$ y a $BC$ por $C$. Muestra que $Q$ es perpendicular a $AM$ si y solo si $M$ es el punto medio de $BC$.