Un número entero $m\geq 1$ es mexica si es de la forma $n^{d(n)}$, donde $n$ es un entero positivo y $d(n)$ es el número de enteros positivos que dividen a $n$. Encuentra todos los números mexica menores que $2019$.

Una secuencia $a_2,a_3,\cdots, a_n$ de enteros positivos se dice que es campechana, si para cada $i$ tal que $2\leq i\leq n$ se cumple que exactamente $a_t$ términos de la secuencia son primos relativos con $i$. Decimos que el tamaño de dicha sucesión es $n-1$. Sea $m=p_1p_2\cdots p_k$, donde $p_1,p_2,\cdots,p_k$ son primos distintos por parejas y $k\geq 2$. Muestra que existen al menos dos secuencias campechanas diferentes de tamaño $m$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC=45^\circ$. Sean $H,O$ el ortocentro y el circuncentro de $ABC$, respectivamente. Sea $\omega$ el circuncirculo de $ABC$ y $P$ el punto sobre $\omega$ tal que el circuncirculo de $PBH$ es tangente a $BC$. Sean $X$ y $Y$ los circuncentros de $PHB$ y $PHC$ respectivamente. Sean $O_1, O_2$ los circuncentros de $PXO$ y $PYO$ respectivamente. Muestra que $O_1$ y $O_2$ están en $AB$ y $AC$, respectivamente.

Un conjunto de $n$ números enteros positivos distintos es equilibrado, si el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un número entero, para toda $1\leq k\leq n$. Encuentra la mayor suma que pueden tener los elementos de un conjunto equilibrado, con todos sus elementos menores o iguales que $2017$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo ortocentro es $H$. La circunferencia que pasa por los puntos $B$, $H$ y $C$ vuelve a intersectar a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $HB$ y $HC$ con el segmento $DE$, respectivamente. Se consideran los puntos $X$ e $Y$ (distintos de $A$) que están sobre las recta $AP$ y $AQ$, respectivamente, de manera que los puntos $X$, $A$, $H$ y $B$ están sobre un círculo y los puntos $Y$, $A$, $H$ y $C$ están sobre un círculo. Muestra que las rectas $XY$ y $BC$ son paralelas.

Sea $n\geq 2$ un número entero. Para cada sucesion de enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_k$ tal que $a_1+a_2+\cdots+a_k=n$, consideramos las sumas $S_i=1+2+\cdots a_i$ para cada $1\leq i\leq k$. Determina, en términos de $n$, el máximo valor posible del producto $S_1S_2\cdots S_k$.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $AH$. La recta $BH$ corta a $AC$ en $D$. Se considera un punto $E$ tal que $BC$ es la mediatriz de $DE$. Los segmentos $CM$ y $AE$ se cruzan en $F$. Muestra que $BF$ es perpendicular a $CM$.

Un subconjunto $B$ de $\{1,2,\cdots, 2017\}$, tiene la propiedad $T$ si cada tres números de $B$ son las longitudes de los lados de un triángulo (de área positiva). Determina la mayor cantidad de números que puede tener un conjunto $B$ que tenga la propiedad $T$.

Para cada número entero positivo $m$, definimos $L_m$ como la figura que se obtiene al superponer dos rectángulos de $1\times m$ y $m\times 1$ de manera que coincidan en el cuadrado de $1\times 1$ en sus extremos (Creando una "L"). Utilizando unas figuras $L_{m_1}, L_{m_2},\cdots,L_{m_k}$, cubrimos completamente un tablero de $n\times n$, de forma que las aristas de la figura coincidan con líneas del tablero. Entre todas las coberturas posibles del tablero, encontrar el mínimo valor posible de $m_1+m_2+\cdots+m_k$. Nota: Al cubrir el tablero, las figuras pueden estar giradas o reflejadas, y pueden solaparse o no estar completamente contenidas en el tablero.

Sobre una circunferencia $\Gamma$ se encuentran los puntos $A,B,N,C,D$ y $M$ colocados en el sentido de las manecillas del reloj de manera que $M$ y $N$ son los puntos medios de los arcos $DA$ y $BC$ (recorridos en el sentido de las manecillas del reloj). Sea $P$ la intersección de los segmentos $AC$ y $BD$; y sea $Q$ un punto sobre $MB$ de manera que las rectas $PQ$ y $MN$ son perpendiculares. Sobre el segmento $MC$ se considera un punto $R$ de manera que $QB=RC$. Muestra que $AC$ pasa por el punto medio del segmento $QR$.