AMC 12A 2010 Problema 8
Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB=2\cdot AC$. Sean $D$ y $E$ en $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ respectivamente tal que $\angle BAE = \angle ACD$. Sea $F$ la intersección de los segmentos $AE$ y $CD$. Suponga que $\triangle CFE$ es equilatero ¿Cuánto vale $\angle ACB$?
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Irreducibilidad tamaño de coeficientes
Sea $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $a_0$ es primo y $$|a_0|>|a_1|+\cdots+|a_n|.$$ Demuestra que $p$ es irreducible.
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Pol 6
Demuestra que $x^n-x-1$ es irreducible para todo entero $n\geq 2$.
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Pol 5
Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Sera que siempre existe un entero $k$ tal que $p(x)-k$ es irreducible?
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USAMO 1974 Problema 1
Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros y $a,b,c$ tres enteros. Demuestra que no puede suceder que $$P(a)=b, P(c)=c, P(c)=a.$$
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Pol 2
Sea $$S_k(n)=\sum_{i=1}^n i^k$$ la suma de las primeras $n$ potencias $k$. Demuestra que $S_k$ es un polinomio de grado $k+1$ con coeficiente principal $\frac{1}{k+1}$. \nBonus: demuestra que $x^2+x$ divide al polinomio.
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USAMO 1975 Problema 3
Sea $P$ un polinomio de grado $n$ tal que $P(n)=\frac{k}{k+1}$ para $k=0,1,\ldots, n$. Cual es el valor de $P(n+1)$?
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USAMO 1977 Problema 3
Sean $a$ y $b$ dos raices distintas del polinomio $x^4+x^3-1$ demuestra que $ab$ es una raiz de $x^6+x^4+x^3-x^2-1$.
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Conjugados Complejos
Sea $z=a+bi$ un numero complejo. Su conjugado es el numero $\bar{z}=a-bi$. Los conjugados cumplen las siguientes propiedades: 1. Es aditivo $\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}$. 2. Es multiplicativo $\overline{zz'}=\bar{z}\bar{z'}$. 3. $z+\bar{z}=2a$ la suma de conjugados es 2 veces la parte real. 4. $z\bar{z}=|z|^2=a^2+b^2$ el producto de conjugados es la norma cuadrada de $z$. 5. Si $P$ es un polinomio con coeficientes $Reales$ entonces $$P(z)=\overline{P(\bar{z})}$$ en particular si $z$ es una raiz entonces $\bar{z}$ tambien lo es.
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Polinomio 0
Cuando un polinomio $P$ es de grado a lo mucho $n$ y tiene $n+1$ raices entonces $P$ es el polinomio $0$, $P\equiv 0$.\nDicho de otra forma, $$P(x)=0 \qquad \forall x$$
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