66 $(USS 3)$ $(a)$ Demuestre que si $0 \le a_0 \le a_1 \le a_2,$ entonces $(a_0 + a_1x - a_2x^2)^2 \le (a_0 + a_1 + a_2)^2\left(1 +\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x^3+x^4\right)$ $(b)$ Formule y demuestre el resultado análogo para polinomios de tercer grado.

65 $(USS 2)$ Demuestre que para $a > b^2,$ se cumple la identidad ${\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}=\sqrt{a-\frac{3}{4}b^2}-\frac{1}{2}b}$

68 $(USS 5)$ Dados $5$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales, demuestre que podemos elegir $4$ puntos entre ellos que formen un cuadrilátero convexo.

14 Una recta en el plano de un triángulo $ABC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ respectivamente en los puntos $X$ e $Y$ tales que $BX = CY$. Encuentre el lugar geométrico del centro del circuncírculo del triángulo $XAY$. Amir

15 Sea $n$ un número natural. Demuestre que \[ \left\lfloor \frac{n+2^0}{2^1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+2^1}{2^2} \right\rfloor +\cdots +\left\lfloor \frac{n+2^{n-1}}{2^n}\right\rfloor =n. \] Observación: Para cualquier número real $x$, el número $\lfloor x \rfloor$ representa el mayor entero menor o igual a $x$.

61 $(SWE 4)$ Sean $a_0, a_1, a_2, \cdots$ determinados por $a_0 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2^n$. Demuestre que si $n$ es una potencia de $2$, entonces $a_n$ también lo es.

36 $(HUN 3)$ En el plano se dan $4000$ puntos tales que cada recta pasa por a lo sumo $2$ de estos puntos. Demuestre que existen $1000$ cuadriláteros disjuntos en el plano con vértices en estos puntos.

62 ¿Qué números naturales pueden expresarse como la diferencia de los cuadrados de dos enteros?

37 $(HUN 4)$ I MO2 Si $a_1, a_2, . . . , a_n$ son constantes reales, y si $y = \cos(a_1 + x) +2\cos(a_2+x)+ \cdots+ n \cos(a_n + x)$ tiene dos ceros $x_1$ y $x_2$ cuya diferencia no es un múltiplo de $\pi$, demuestre que $y = 0.$

7 ¿Para qué dígitos $a$ existen enteros $n \geq 4$ tales que cada dígito de $\frac{n(n+1)}{2}$ es igual a $a \ ?$ Amir