2 Sea $N$ un entero positivo. Existen enteros positivos $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ tales que ninguno de ellos es múltiplo de $2^{N+1}$. Para cada entero $n\geq N+1$, defina $a_{n}$ como sigue: Si el resto de $a_{k}$ al dividirlo por $2^{n}$ es el menor entre los restos de $a_{1}, \cdots, a_{n-1}$ al dividirlos por $2^{n}$, defina $a_{n}=2a_{k}$. Si existen varios enteros $k$ que satisfacen la condición anterior, elija el mayor. Demuestre la existencia de un entero positivo $M$ que satisface $a_{n}=a_{M}$ para $n\geq M$.