Varios criterios de prueba.
La divisibilidad por 7 suele verse como una de las reglas más difíciles en la teoría de números elemental. Esto pasa principalmente porque el 7 no divide a las potencias de 10 ni a sus vecinos cercanos (como el 9, 11, 99 o 101) de una forma que genere un patrón simple para números pequeños. A diferencia de las reglas del 2, 3 o 5, la regla del 7 normalmente requiere un proceso iterativo o una manipulación de los dígitos que cambia bastante el tamaño del número. La técnica más común consiste en quitar el último dígito, duplicarlo y restarlo de la parte que queda del número. Este proceso mantiene las propiedades de divisibilidad respecto al módulo 7.
Para números más grandes, hay un método más eficiente que usa el hecho de que $1001 = 7 \times 11 \times 13$. Como $1001$ es múltiplo de 7, puedes agrupar los dígitos en bloques de tres empezando por la derecha. La suma alternada de estos bloques tiene el mismo residuo al dividir entre 7 que el número original. Esto conecta la regla del 7 con las del 11 y 13, dándote un enfoque unificado para checar la divisibilidad por estos primos.
Dominar estas reglas es esencial para competencias como el AMC 8 y el AMC 10, donde no dejan usar calculadora. Estas técnicas te permiten determinar rápido si un número es primo, hacer factorizaciones primas o simplificar problemas de aritmética modular sin tener que hacer la división larga. Entender la aritmética modular detrás de esto también refuerza lo que sabes sobre congruencias y las propiedades de los enteros coprimos.
1. La regla de "duplicar y restar" Toma un entero positivo $n$. Lo puedes escribir como $10a + b$, donde $b$ es el dígito de las unidades y $a$ es el entero formado por los dígitos restantes. $$ 7 \mid n \iff 7 \mid (a - 2b) $$ Ejemplo: Para $343$, tienes $a=34$ y $b=3$. Checa $34 - 2(3) = 28$. Como $7 \mid 28$, entonces $7 \mid 343$.
2. El método de bloques (sumas alternadas) Para un entero $n$ grande, separa los dígitos en bloques de tres empezando por la derecha: $B_0, B_1, B_2, \dots$. $$ n \equiv B_0 - B_1 + B_2 - B_3 + \dots \pmod 7 $$ $$ 7 \mid n \iff 7 \mid (B_0 - B_1 + B_2 - \dots) $$ Nota: Esta regla también funciona para la divisibilidad por 11 y 13.
3. Fórmula modular general Si usas los residuos de las potencias de 10 módulo 7 ($1, 3, 2, -1, -3, -2$), y $n$ tiene los dígitos $d_k \dots d_1 d_0$: $$ n \equiv d_0 + 3d_1 + 2d_2 - d_3 - 3d_4 - 2d_5 + \dots \pmod 7 $$
Teorema: Toma un entero positivo $n$ escrito como $n = 10a + b$, donde $b$ es el dígito de las unidades ($0 \le b \le 9$) y $a$ es el número formado por los dígitos restantes. Entonces $n$ es divisible por 7 si y solo si $a - 2b$ es divisible por 7.
Demostración: Lo que hay que mostrar es que $n \equiv 0 \pmod 7 \iff (a - 2b) \equiv 0 \pmod 7$.
Considera la combinación lineal de $n$ y $(a - 2b)$ diseñada para eliminar la variable $a$. Nota que $n = 10a + b$. Analiza la cantidad $n - 10(a - 2b)$:
$$ \begin{aligned} n - 10(a - 2b) &= (10a + b) - (10a - 20b) \ &= 10a + b - 10a + 20b \ &= 21b \end{aligned} $$
Como $21 = 7 \times 3$, queda claro que $21b$ siempre es divisible por 7. Por lo tanto: $$ n - 10(a - 2b) \equiv 0 \pmod 7 $$ $$ n \equiv 10(a - 2b) \pmod 7 $$
Ahora hay que determinar si la divisibilidad se mantiene. Recuerda que si $x \equiv y \pmod m$ y $\gcd(k, m) = 1$, entonces $kx \equiv ky \pmod m \iff x \equiv y \pmod m$.
En este caso, el multiplicador es $10$. Como $\gcd(10, 7) = 1$, el 10 tiene un inverso multiplicativo modular módulo 7 (específicamente, $10 \equiv 3 \pmod 7$, y el inverso es $-2$ o $5$).
Así que: $$ n \equiv 0 \pmod 7 \iff 10(a - 2b) \equiv 0 \pmod 7 $$ Como el 10 es coprimo con el 7, puedes dividir entre 10 (en el sentido modular): $$ \iff (a - 2b) \equiv 0 \pmod 7 $$
Esto confirma que $n$ es divisible por 7 si y solo si $a - 2b$ es divisible por 7. $\square$