Suma alternada de los dígitos.
La regla de divisibilidad por 11 es una de las más elegantes y usadas en la teoría de números elemental. A diferencia de las reglas que solo se fijan en los últimos dígitos (como las del 2, 4, 5 u 8), la regla del 11 usa todos los dígitos del número. Específicamente, un entero positivo es divisible por 11 si y solo si la suma alternada de sus dígitos es divisible por 11. Esto significa que tomas el último dígito, le restas el penúltimo, le sumas el antepenúltimo, y así te sigues. Si el resultado es $0$, $11$, $-11$, o cualquier otro múltiplo de $11$, el número original es divisible por $11$.
Esta técnica es súper importante en concursos de matemáticas como el AMC 8 y el AMC 10, porque te permite checar rápido factorizaciones en primos o resolver problemas de "dígitos faltantes" sin tener que hacer la división larga. Por ejemplo, para ver si $95,821$ es divisible por $11$, calculas $1 - 2 + 8 - 5 + 9 = 11$. Como $11$ es divisible por $11$, entonces $95,821$ también lo es.
La idea detrás de esta regla viene de la aritmética modular. En base 10, los valores de posición son potencias de 10 ($1, 10, 100, 1000, \dots$). Módulo 11, el número 10 se comporta como $-1$. Por eso, las potencias de 10 van alternando entre $1$ y $-1$ (por ejemplo, $100 \equiv 1$, $1000 \equiv -1$). Este patrón alternado convierte el valor del número en la suma alternada de sus dígitos cuando lo ves módulo 11.
Imagina que $n$ es un entero positivo con dígitos $d_k d_{k-1} \dots d_1 d_0$ en base 10. Puedes escribir $n$ como: $$n = d_k 10^k + d_{k-1} 10^{k-1} + \dots + d_1 10^1 + d_0 10^0 = \sum_{i=0}^k d_i 10^i$$
La regla de divisibilidad dice que: $$n \equiv \sum_{i=0}^k (-1)^i d_i \pmod{11}$$
Por lo tanto: $$11 \mid n \iff 11 \mid (d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots + (-1)^k d_k)$$
Para decirlo más fácil, si $S_{odd}$ es la suma de los dígitos en posiciones impares (1ra, 3ra, 5ta... desde la derecha) y $S_{even}$ es la suma de los dígitos en posiciones pares (2da, 4ta, 6ta... desde la derecha), entonces: $$n \equiv (S_{odd} - S_{even}) \pmod{11}$$
Teorema: Un entero positivo $n$ es divisible por 11 si y solo si la suma alternada de sus dígitos es divisible por 11.
Demostración: Supón que la representación decimal de $n$ es $d_k d_{k-1} \dots d_1 d_0$. Puedes escribir el valor de $n$ como un polinomio en 10: $$n = d_k 10^k + d_{k-1} 10^{k-1} + \dots + d_1 10 + d_0 = \sum_{i=0}^k d_i 10^i$$
Analiza esta expresión módulo 11. Fíjate en esta propiedad del 10 módulo 11: $$10 \equiv -1 \pmod{11}$$
Usando las propiedades de la aritmética modular (específicamente que $a \equiv b \implies a^i \equiv b^i$), puedes cambiar el $10$ por $-1$ en la suma: $$10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$$
Ahora, sustituye esta equivalencia en la expresión de $n$: $$n = \sum_{i=0}^k d_i 10^i \equiv \sum_{i=0}^k d_i (-1)^i \pmod{11}$$
Si expandes la suma del lado derecho, obtienes la suma alternada de los dígitos: $$n \equiv d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots + (-1)^k d_k \pmod{11}$$
Para que $n$ sea divisible por 11, tienes que cumplir que $n \equiv 0 \pmod{11}$. Según la congruencia de arriba, esto pasa si y solo si: $$\sum_{i=0}^k (-1)^i d_i \equiv 0 \pmod{11}$$
Así que $n$ es divisible por 11 si y solo si la suma alternada de sus dígitos es divisible por 11. $\square$