Solución Fundamental

Teoría

La Solución Fundamental de la ecuación de Pell, $x^2 - Dy^2 = 1$ (donde $D$ es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto), es la solución $(x_1, y_1)$ en enteros positivos tal que $x_1 + y_1\sqrt{D}$ es mínima. En el contexto del anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$, esto corresponde a la unidad fundamental con norma 1. Como la ecuación $x^2 - Dy^2 = 1$ siempre tiene infinitas soluciones, la solución fundamental sirve como el generador de todo el conjunto de soluciones. Una vez que encuentras $(x_1, y_1)$, puedes obtener todas las demás soluciones en enteros positivos $(x_n, y_n)$ elevando la unidad fundamental $x_1 + y_1\sqrt{D}$ a potencias enteras positivas.

Encontrar la solución fundamental es un primer paso crucial para resolver cualquier ecuación diofántica tipo Pell. Aunque puedes resolver casos simples por inspección, los valores de $x$ y $y$ pueden crecer muchísimo incluso para valores pequeños de $D$ (por ejemplo, para $D=61$, el $x$ más pequeño es $1,766,319,049$). Por lo tanto, el método estándar para encontrar la solución fundamental se basa en la expansión en fracciones continuas de $\sqrt{D}$. Es un resultado conocido que $(x_1, y_1)$ corresponde a uno de los convergentes de la fracción continua de $\sqrt{D}$.

La intuición detrás de la solución fundamental está en la estructura del grupo de unidades en el campo cuadrático real $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$. Las soluciones a la ecuación de Pell forman un grupo abeliano multiplicativo isomorfo a $\mathbb{Z} \times {-1, 1}$. La solución fundamental representa el generador de la parte cíclica infinita de este grupo. Si ves $x^2 - Dy^2 = 1$ como la búsqueda de unidades de norma 1, la solución fundamental es la unidad más pequeña que es estrictamente mayor a 1. Esta propiedad de "minimalidad" te permite demostrar que no existen soluciones entre las potencias de la solución fundamental.

Fórmulas Clave

Ecuación de Pell $$x^2 - Dy^2 = 1$$ donde $D$ es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto.

Generando Todas las Soluciones Si $(x_1, y_1)$ es la solución fundamental (la solución positiva más pequeña), entonces cada solución positiva $(x_n, y_n)$ está dada por: $$x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n, \quad \text{para } n \in \mathbb{Z}^+$$

Relaciones de Recurrencia Al expandir la fórmula de la potencia, obtienes las relaciones de recurrencia para $n \ge 2$: $$x_n = 2x_1 x_{n-1} - x_{n-2}$$ $$y_n = 2x_1 y_{n-1} - y_{n-2}$$ con los casos base $(x_0, y_0) = (1, 0)$ y $(x_1, y_1)$.

Relación con Fracciones Continuas Sea la expansión en fracciones continuas de $\sqrt{D}$ igual a $[a_0; \overline{a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, 2a_0}]$ con longitud de periodo $m$. Usa $\frac{p_k}{q_k}$ para denotar el $k$-ésimo convergente. Si $m$ es par, la solución fundamental es: $$x_1 = p_{m-1}, \quad y_1 = q_{m-1}$$ Si $m$ es impar, la solución fundamental es: $$x_1 = p_{2m-1}, \quad y_1 = q_{2m-1}$$

Demostración

Teorema: Sea $(x_1, y_1)$ la solución fundamental de $x^2 - Dy^2 = 1$. Entonces, cada solución positiva $(u, v)$ tiene la forma $u + v\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n$ para algún entero positivo $n$.

Demostración: Toma $\epsilon = x_1 + y_1\sqrt{D}$. Como $(x_1, y_1)$ es la solución fundamental, $\epsilon$ es el número real más pequeño de la forma $x + y\sqrt{D}$ con $x, y \in \mathbb{Z}^+$ que satisface la ecuación de Pell. Nota que $\epsilon > 1$.

Sea $(u, v)$ cualquier solución positiva de $x^2 - Dy^2 = 1$, y toma $\alpha = u + v\sqrt{D}$. Lo que hay que mostrar es que $\alpha$ es una potencia entera de $\epsilon$.

Como $\epsilon > 1$ y $\alpha \ge \epsilon$, existe un único entero positivo $n$ tal que: $$\epsilon^n \le \alpha < \epsilon^{n+1}$$

Multiplica todas las partes de la desigualdad por $\epsilon^{-n}$: $$1 \le \alpha \epsilon^{-n} < \epsilon$$

Sea $\beta = \alpha \epsilon^{-n}$. Definimos $\epsilon^{-1} = x_1 - y_1\sqrt{D}$ (ya que $(x_1 + y_1\sqrt{D})(x_1 - y_1\sqrt{D}) = x_1^2 - Dy_1^2 = 1$). Como el conjunto de soluciones de la ecuación de Pell forma un grupo bajo la multiplicación definida por $(a+b\sqrt{D})(c+d\sqrt{D})$, y tanto $\alpha$ como $\epsilon$ son unidades de norma 1, su cociente $\beta$ también es una unidad de norma 1.

Así, puedes escribir $\beta$ de la forma $A + B\sqrt{D}$ donde $A, B$ cumplen $A^2 - DB^2 = 1$. Como $\beta \ge 1$, tienes que $A + B\sqrt{D} \ge 1$. Además, $\beta = A + B\sqrt{D} = \frac{1}{A - B\sqrt{D}}$, así que $A - B\sqrt{D} > 0$. Al sumar estas desigualdades obtienes $2A > 0 \implies A > 0$. Como $A^2 - 1 = DB^2$ y $A \ge 1$, $B$ debe ser real. Si $B=0$, entonces $A=1$ y $\beta=1$. Si $B \neq 0$, entonces $B^2 > 0$, así que puedes asumir que $B$ es un entero.

Sin embargo, ya establecimos que $1 \le \beta < \epsilon$. Si $\beta > 1$, entonces $(A, B)$ sería una solución positiva a la ecuación de Pell tal que $A + B\sqrt{D} < x_1 + y_1\sqrt{D}$. Esto contradice la definición de $(x_1, y_1)$ como la solución fundamental (la positiva más pequeña).

Por lo tanto, la única posibilidad es que $\beta = 1$. Al sustituir de vuelta, obtienes $1 = \alpha \epsilon^{-n}$, lo que implica: $$\alpha = \epsilon^n$$ $$u + v\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n$$

Así, todas las soluciones positivas son potencias de la solución fundamental. $\square$