Generando todas las soluciones posibles.
La ecuación de Pell es una ecuación diofántica de la forma $x^2 - Dy^2 = 1$, donde $D$ es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto y tú buscas soluciones enteras para $x$ y $y$. La estructura de las soluciones tiene una conexión muy profunda con el anillo de enteros $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ y las unidades que hay en ese anillo. Una vez que encuentras la solución fundamental $(x_1, y_1)$ —es decir, la solución con los valores positivos más pequeños para $x$ y $y$— (que normalmente sacas usando fracciones continuas), esta te sirve para generar todas las demás soluciones en enteros positivos.
La idea clave es que la expresión $x + y\sqrt{D}$ funciona como una unidad en el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ con norma $x^2 - Dy^2 = 1$. Como la norma es multiplicativa, si elevas la unidad fundamental $x_1 + y_1\sqrt{D}$ a cualquier potencia entera $k$, vas a obtener un nuevo número $x_k + y_k\sqrt{D}$ que también tiene norma 1. Por lo tanto, $(x_k, y_k)$ también es una solución a la ecuación de Pell.
Esta técnica convierte el problema de encontrar infinitas soluciones en una simple manipulación algebraica. Esto te garantiza que el conjunto de soluciones que generas con las potencias de la solución fundamental incluye todas las soluciones en enteros positivos.