Convergentes de √D.
El Método de Fracciones Continuas es el algoritmo estándar que usas para encontrar la solución fundamental $(x_1, y_1)$ de la Ecuación de Pell, $x^2 - Dy^2 = 1$, donde $D$ es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Aunque a veces puedes encontrar soluciones pequeñas al tanteo, este enfoque se vuelve imposible de calcular para valores de $D$ más grandes. El método se basa en observar que puedes reescribir la ecuación como $(x - y\sqrt{D})(x + y\sqrt{D}) = 1$. Esto implica que $x - y\sqrt{D}$ es muy pequeño y, por lo tanto, $\frac{x}{y} \approx \sqrt{D}$.
Esta idea conecta las ecuaciones diofánticas con la teoría de aproximaciones racionales. Específicamente, el Teorema de Lagrange dice que cualquier solución entera positiva $(x, y)$ a la Ecuación de Pell debe cumplir que $\frac{x}{y}$ es un convergente de la expansión en fracciones continuas simples de $\sqrt{D}$. Como la fracción continua de un irracional cuadrático es periódica, este método te da un algoritmo determinista: expande $\sqrt{D}$ en su fracción continua, calcula la sucesión de convergentes y pruébalos hasta que encuentres la solución fundamental.
El poder de este método está en las propiedades del periodo de la expansión. Si la fracción continua de $\sqrt{D