Tabla de soluciones fundamentales.
La ecuación de Pell es una ecuación diofántica clásica de la forma $x^2 - Dy^2 = 1$, donde $D$ es un entero positivo dado que no es un cuadrado perfecto y buscas soluciones enteras para $x$ y $y$. La solución fundamental $(x_1, y_1)$ es la solución con los valores positivos más pequeños para $x$ y $y$ (específicamente, la $x + y\sqrt{D} > 1$ más pequeña). Este concepto es central en la teoría porque una vez que encuentras la solución fundamental, puedes generar todas las demás soluciones enteras positivas $(x_n, y_n)$ elevando la unidad fundamental $x_1 + y_1\sqrt{D}$ a potencias enteras.
El estudio de las soluciones fundamentales para "D pequeña" revela una sorprendente falta de correlación entre el tamaño de $D$ y el tamaño de la solución fundamental. Aunque algunas $D$ pequeñas dan soluciones pequeñas (por ejemplo, para $D=2$, la solución es $(3,2)$), valores de $D$ un poco más grandes pueden dar soluciones fundamentales astronómicamente grandes. Por ejemplo, encontrar la solución para $D=61$ fue un reto histórico que confundió a los matemáticos por años porque los números involucrados están en los miles de millones. Este comportamiento errático está gobernado por la longitud del periodo de la expansión en fracciones continuas de $\sqrt{D}$.