Denotamos como bloque $d$ a un conjunto de términos consecutivos $x_r,\dots , x_{r'}$ tales que $x_{r+1}-x_r=\dots = x_{r'+1}-x_{r'}=d$. Primero, sea $x_i=2^{2k}$ para algún entero positivo $k$. Ahora note que, \[x_{i+1}=2^{2k}+2^k, x_{i+2}=2^{2k}+2^{k+1} \text{ y }x_{i+3}=2^{2k}+2^{k+1}+2^k\] La afirmación clave es la siguiente. Afirmación: Para todo $2^k < m < 2^{k+1}$, el bloque $m$ es precisamente el conjunto \[\{m^2-m+2^{k+1}, m^2+2^{k+1}\}\] Demostración: Probamos esto mediante inducción sobre $m$ en este rango. El caso base es claro ya que para $m=2^k+1$, tenemos el término $2^{2k}+2^{k+1}+2^k$ que produce el siguiente término $(2^k+1)^2 < 2^{2k}+2^{k+2}+1< (2^k+2)^2$, los cuales tienen las formas deseadas. Suponga que el resultado es válido para algún $2^{k+1}>m >2^k$. Entonces, tenemos el término $m^2+2^{k+1}$ que produce el siguiente término $m^2+m+2^{k+1} = (m+1)^2-(m+1)+2^{k+1}$ ya que $m^2+2^{k+1}< (m+1)^2$. Ahora, el siguiente término es $m^2+2m+2^{k+1}+1=(m+1)^2 + 2^{k+1}$ ya que $m^2+m+2^{k+1}< (m+2)^2$. Además, $m^2+2m+2^{k+1}+1< (m+2)^2$ también (y el siguiente término es al menos $(m+2)^2$), lo que implica que la forma del bloque $(m+1)$ es también como se afirmó, y el resultado se sigue por inducción. Ahora, cuando $m=2^{k+1}-1$, el último término del bloque $(2^{k+1}-1)$ es $(2^{k+1}-1)^2 +2^{k+1}=2^{2k+2}-2^{k+1}+1$. Por la definición de bloques, esto implica que el siguiente término es $2^{2k+2}$ y llegamos al final de esta sección de la sucesión. Por inducción, ahora se sigue que la sucesión se comporta de esta manera para todas las potencias de dos. Note que claramente los cuadrados de todas las potencias de dos aparecen en la sucesión (finales de cada sección). Por lo tanto, si ocurre cualquier otro cuadrado perfecto, debe estar dentro de una sección. Sin embargo, dentro de una sección, el término es o bien uno de los dos primeros términos de la sucesión \[(2^k)^2<2^{2k}+2^k,2^{2k}+2^{k+1}<(2^k+1)^2\] los cuales pueden verificarse fácilmente que no son cuadrados para ningún entero positivo $k$, o bien es un miembro de algún bloque. Para todo $2^k < m < 2^{k+1}$, los enteros en el bloque $m$ son tales que \[m^2 < m^2-m+2^{k+1}

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